Funkcije in odvodi

Enačbe rešujemo s pomočjo ukaza Solve[ ].

?Solve

1. Rešite enačbo 2(x^2) + 7x - 15 = 0.

Solve[2x^2+7x-15==0,x]

Neenačbe rešujemo s pomočjo ukaza Reduce[ ].

2. Določite ničle polinoma p(x) = (x^3) - 3x + 2.
	Rezultati: (Subscript[x, 1]) = -2, (Subscript[x, 2,3]) = 1.

3. Rešite kvadratno neenačbo x^2 - 3x - 4 ⩽ 0.
	Rezultat: x ∈ [-1,4].

?Reduce

4. Določite definicijsko območje funkcije f(x) = (Sqrt[4 - (x^2)]) + log(((x-1)/(x+1))).

Reduce[{4-x^2≥0,(x-1)/(x+1)>0},x,Reals]

Grafe funkcij rišemo s pomočjo ukaza Plot[ ].

?Plot

5. Narišite graf funkcije f(x) = 2 sin((x/2)-((2π)/3)).

Plot[2Sin[x/2-2Pi/3],{x,-3Pi,5Pi}]

Limite funkcij računamo s pomočjo ukaza Limit[ ].

?Limit

6. Izračunajte naslednje limite.
	a) (lim_(x->0)) ((sin(3x))/x)
	b) (lim_(x->∞)) ((Sqrt[(x^2) - 1]) - x)
	c) (lim_(x->4)) ((((Sqrt[1 + 2x]) - 3)/((Sqrt[x]) - 2)))

Limit[Sin[3x]/x,x->0]
Limit[Sqrt[x^2-1]-x,x->Infinity]
Limit[(Sqrt[1+2x]-3)/(Sqrt[x]-2),x->4]

7. Izračunajte naslednje limite.
	a) (lim_(x->0)) ((1 - cos(x))/(x^2)) = (1/2)
	b) (lim_(x->∞)) ((((((x^2) + 1)/((x^2) - 1))))^(x^2)) = (e^2)
	c) (lim_(x->1))(((x-1)(Sqrt[2 - x]))/((x^2) - 1))= (1/2)

Odvode funkcij računamo s pomočjo ukaza D[ ].
Izraz poenostavimo s pomočjo ukaza Simplify[ ] ali FullSimplify[ ].

?D
?Simplify
?FullSimplify

8. Izračunajte odvode naslednjih funkcij.
	a) f(x) = x (Sqrt[1 + (x^2)])
	b) f(x) = (((x^2) - 5x - 1)/(x^3))
	c) f(x) = (log^3)((x^2))

Simplify[D[x Sqrt[1+x^2],x]]
Simplify[D[(x^2-5x-1)/x^3,x]]
D[Log[x^2]^3,x]

9. Izračunajte prvi in drugi odvod funkcije f(x) = x (sin(ln(x)) + cos(ln(x))).
	Rezultati: f'(x) = 2cos(ln(x)), f''(x) = -((2sin(ln(x)))/x).

Ukaz ReplaceAll[ ] nadomesti izraz z vrednostjo. Uporablja se okrajšava /. .
Polinome delimo s pomočjo ukaza PolynomialQuotient[ ].
Ukaz Numerator[ ] vrne števec, ukaz Denominator[ ] pa imenovalec ulomka.

?ReplaceAll
?PolynomialQuotient
?Numerator
?Denominator

10. Natančno narišite graf funkcije f(x) = (((x^2) + x)/(x + 2)).

f=(x^2+x)/(x+2);
(* Ničle: *)
Solve[x^2+x==0,x]
(* Poli: *)
Solve[x+2==0,x]
(* Začetna vrednost: *)
f/.x->0
(* Poševna asimptota: *)
PolynomialQuotient[Numerator[f],Denominator[f],x]
(* Ekstremi funkcije: *)
Solve[D[f,x]==0,x]
Sign[D[f,x,x]/.x->-2-Sqrt[2]]
Sign[D[f,x,x]/.x->-2+Sqrt[2]]
Simplify[f/.x->-2-Sqrt[2]]
Simplify[f/.x->-2+Sqrt[2]]
(* Graf funkcije: *)
Plot[f,{x,-5,3}]
Plot[f,{x,-5,3},PlotStyle->{Red,Thick}]
Plot[f,{x,-5,3},AspectRatio->Automatic]

11. Natančno narišite graf funkcije p(x) = (x^4) - 2(x^2) - 3.
	Rezultati: ničle: (Subscript[x, 1]) = -(Sqrt[3]), (Subscript[x, 2]) = (Sqrt[3]), začetna vrednost: p(0) = -3, lokalni maksimum pri (Subscript[x, 1]) = 0, lokalna minimuma pri (Subscript[x, 2]) = -1 in (Subscript[x, 3]) = 1.

12. Določite intervale naraščanja in padanja za funkcijo f(x) = ((2x)/(1 + (x^2))).

f=2x/(1+x^2);
Reduce[D[f,x]>0,x,Reals]
Reduce[D[f,x]<0,x,Reals]

13. Določite in klasificirajte lokalne ekstreme funkcije f(x) = (x^2) (e^(-x)).

f=x^2 E^(-x);
(* Stacionarne točke: *)
Solve[D[f,x]==0,x]
(* Klasifikacija: *)
Sign[D[f,x,x]/.x->0]
Sign[D[f,x,x]/.x->2]
(* ali *)
(D[f,x,x]/.x->0)>0
(D[f,x,x]/.x->2)<0

14. Določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije f(x) = (((x^2) - 3x)/(x + 1)) na intervalu [0,4].
	Rezultati: največja vrednost (Subscript[T, 1])(4,(4/5)), najmanša vrednost (Subscript[T, 2])(1,-1).