Enačbe in neenačbe

Ukaz Solve[] rešuje algebraične enačbe. Če v enačbi nastopa več spremenljivk, moramo ukazu Solve[] podati še katero spremenljivko iščemo.
Pozor, v enačbi se zapiše dva enačaja == !
Z ukazom Solve[] lahko rešujemo tudi več enačb. Pri tem je prvi argument seznam enačb pisan v zavitih oklepajih { }, drugi argument pa je seznam iskanih spremenljivk pisan v zavitih oklepajih { }.
Ukaz NSolve[] numerično rešuje algebraične enačbe.
Ukaz Reduce[] rešuje algebraične neenačbe. Tretji argument podaja domeno v kateri iščemo rešitve, npr. Reals, Integers, Complexes.

?Solve
?Factor
?NSolve
?Reduce

1.a) Rešite kvadratno enačbo x^2+2x-8=0.

Solve[x^2+2x-8==0,x]

1.b) Rešite prejšnjo enačbo brez uporabe ukaza Solve[].

Factor[x^2+2x-8]

2.a) Z ukazom Solve[] poskusite rešiti enačbo 1+2x-2x^2-2x^3+2x^4+x^5-2x^6+x^8=0.

Solve[1+2x-2x^2-2x^3+2x^4+x^5-2x^6+x^8==0,x]

2.b) Mathematica ne zna rešiti enačbe, ker je pretežka.
     Uporabite ukaz NSolve[], ki poišče ničle z neko numerično metodo.
     Enačbo rešite še grafično tako, da z grafa polinoma odčitate njegove ničle.

NSolve[1+2x-2x^2-2x^3+2x^4+x^5-2x^6+x^8==0,x]

Za risanje grafov funkcij uporabljamo več ukazov, osnovni ukaz je Plot[], ki se uporablja, ko imamo eksplicitno podano funkcijo. Ukaz Plot[] potrebuje dva parametra:
funkcijo v obliki f[x] in interval oblike {x,a,b}, kjer je x spremenljivka, ki nastopa v f, a in b pa meji intervala, na katerem želimo funkcijo narisati.
Z ukazom Plot[] lahko narišemo tudi več grafov eksplicitno podanih funkcij na isto sliko.

Plot[1+2x-2x^2-2x^3+2x^4+x^5-2x^6+x^8,{x,-2,2}]

3.a) Rešite sistem dveh linearnih enačb 2x+y=8 ter x-3y=-3.

Solve[{2x+y-8==0,x-3y+3==0}, {x,y}]

3.b) Poiščite rešitev zgornjega sistema še grafično tako, da narišete obe premici.

Plot[{-2x+8, (x+3)/3},{x,-1,5},PlotStyle->{Red,Blue}]

4) Rešite kvadratno neenačbo x^2+2x-8<0.

Reduce[x^2+2x-8<0,x]

V nalogah, ki jih bomo reševali, bomo pogosto uporabljali spremenljivke z enakimi imeni, npr. x,y,... 
Definicija spremenljivke x v eni nalogi, bo motila uporabo spremenljivke x v drugi nalogi.
V takih okoliščinah uporabimo ukaz Clear[], ki izbriše vrednost, ki je prirejena dani spremenljivki.

?Clear

(* recimo 1. naloga *)
x=r Cos[φ]
y=r Sin[φ]

(* recimo 2. naloga *)
Solve[x^2-5x+6==0,x]

(* uspešna rešitev *)
Clear[x]
Solve[x^2-5x+6==0,x]

Izpis rezultata preprečimo s podpičjem na koncu ukaza.

ArcTan[1]

ArcTan[1];

Definicija in graf funkcije

Mathematica ima seveda vgrajene vse elementarne funkcije. Lahko pa definiramo nove funkcije in le-te uporabljamo tako kot vgrajene funkcije.
Pri definiciji funkcije se je treba natančno držati pisave; zaporedje znakov  "[x_]:= "  je obvezno.
Ukaz D[ ] izračuna odvod dane funkcije po dani spremenljivki.
V Mathematici je običajno, da ukaze gnezdimo.

NovaFun[x_]:=x^3
NovaFun[2]
NovaFun[x^2+1]
D[NovaFun[x],x]
D[NovaFun[Sin[x]],x]

Pri kratkih, enostavnih nalogah ni potrebno, da uporabimo natančno definicijo funkcije. Velikokrat najdemo krajšo rešitev.

y=x^3
D[y,x]
Plot[y,{x,-1,2}]

Za risanje grafov uporabljamo naslednje osnovne ukaze:

			če je enačba krivulje ... 
Plot			eksplicitna	   	 	     y=f(x)
ParametricPlot	parametrična	  		 {x=x(t),y=y(t)}
PolarPlot		v polarnih koordinatah   r=r(φ)
ContourPlot		implicitna       		 f(x,y)=0

?Plot
?ParametricPlot
?PolarPlot
?ContourPlot

5. Narišite grafe naslednjih funkcij oz. krivulj:

  	parabola	 y = -(x^2)+x+2
  	cikloida	 x = t-sin(t), y = 1-cos(t)
  	kardioida	 r = 1+cos(φ)
  	elipsa	 	 ((x^2)/9)+((y^2)/4)=1

Plot[-x^2+x+2,{x,-3,3}]

ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,4π}]

PolarPlot[1+Cos[φ],{φ,0,2π}]

ContourPlot[x^2/9+y^2/4==1,{x,-3,3},{y,-2,2}]
ContourPlot[x^2/9+y^2/4==1,{x,-3,3},{y,-2,2},AspectRatio->Automatic]

AspectRatio->Automatic je primer opcije. Z opcijami izboljšamo kakovost slike. Največkrat uporabljena opcija je PlotStyle[], s katero poudarimo krivuljo.
Ostale opcije so manj uporabljane (glej Help). 

Če želimo narisati več krivulj ali želimo krivulji pripisati več atributov hkrati (barvo,debelino,...), uporabimo sezname.
V programu Mathematica se več enakih objektov zloži v seznam, tj.v zavite oklepaje.

Več samostojno narejenih slik lahko prikažemo skupaj tako, da posamezne slike priredimo spremenljivkam in te spremenljivke uporabimo v ukazu Show[].

ena=Plot[-x^2+x+2,{x,-3,3},PlotStyle->Red];
dva=ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,4π},PlotStyle->Thick];
tri=PolarPlot[1+Cos[φ],{φ,0,2π},PlotStyle->{Thick,Red,Dashed}];
pet=Plot[{2(Sqrt[1-((x^2)/9)]),-2(Sqrt[1-((x^2)/9)])},{x,-3,3},PlotStyle->Green];
Show[ena,dva,tri,pet,PlotRange->All]

Dodatne naloge

6. Rešite sistem linearnih enačb
		3x + 3y + z = 1,
		-4x + 4y + 2z = -4,
		2x + 3y - z = -8.

7. V isto sliko narišite
	- lemniskato r^2 = 2 cos(2φ), ki naj bo zelene barve in odebeljena ter
	- premici y=x in y=-x, ki naj bosta modre barve in narisana črtkano.
   Nato narišite (v ločeno sliko) še lemniskato r^2 = 2 sin(3φ),
   ki naj bo rdeče barve, odebeljena in narisana črtkano.

8. Poiščite ničle, pole, začetno vrednost, poševno asimptoto ter narišite graf racionalne funkcije
		f(x) = (x^3-x^2-6x)/(x^2+2x-3).