Odvodi in integrali

Odvod funkcije

Odvod funkcije, kot tudi višje in parcialne odvode izračunamo z ukazom D[].

?D

y = x^4
D[y, x]
D[y, x, x]
D[y, {x, 2}]
D[x^2 Sin[x], x]

Z operatorjem /. vstavimo v nek izraz konkretno vrednost spremenljivke. Operator je sestavljen iz dveh znakov, ki delujeta kot pravilo za zamenjavo spremenljivk z desne strani v izrazu na levi strani.

?/.

Clear[a,x]
D[Sin[a x],x]
D[Sin[a x],x]/.x->2
D[Sin[a x],x]/.{x->2,a->Pi}

1. Odvajajte naslednje funkcije:
   a) f(x) = ln(sin(x))
   b) g(x) =  (Sqrt[1+2tg(x)])
   c) h(x) = e^x cos(x)
   Izračunajte še druge odvode.

2. Poiščite in klasificirajte ekstreme funkcije y = (x/(((x^2)-1)^(1/3))).
  Rezultati:
    pri x = -(Sqrt[3]) je maksimum
    pri x = (Sqrt[3]) je minimum

3. Poiščite točko na krivulji y^2=2x^3, v kateri je tangenta pravokotna na premico 4x-3y=2.
   Krivuljo, premico in tangento tudi narišite v isti koordinatni sistem.
   
  Rezultat: T((1/8),-(1/16))

Integral funkcije

Integrale (nedoločene in določene) v Mathematici računamo z uporabo ukaza Integrate[]. Znano je, da se nedoločeni integral nekaterih funkcij ne da izračunati. Za izračun določenega integrala v takem primeru uporabimo ukaz NIntegrate[], ki z neko numerično metodo približno izračuna integral.

?Integrate
?NIntegrate

4. Izračunajte naslednje integrale:
 ∫x sin(x) dx,
     (∫_0^π)x sin(x)  dx,
     (∫_0^∞) (x^2) (e^(-2x)) dx,
     (∫_0^1) sin ((e^(x^2))) dx.

Rezultati:
-x cos(x)+sin(x)
	π
	(1/4)
	0.8862395398480123`

5. Izračunajte ploščino lika med parabolo y=x^2+2 in tangentama v točkah A(-1,3) in B(2,6).
   Parabolo in tangenti tudi skicirajte.
   
   Rezultat: p = 9/4

6. Izračunajte površino in prostornino rotacijskega telesa, ki nastane,
     če astroido x = 2cos^3(t), y = 2sin^3(t) zavrtimo okrog osi x.
     Pomoč: P = 2π(∫_a^b) y(Sqrt[((OverDot[x])^2)+((OverDot[y])^2)])dt, V = π(∫_a^b) (y^2)(OverDot[x]) dt
     
       Rezultat: P = 48π/5, V = 256π/105

Linearna algebra

Matrike

Vektorje pišemo kot sezname v zavitih oklepajih, npr. {3,2,5}. Matrika je seznam seznamov, npr. {{1,2},{3,4}}, matrike pa kot sezname vektorjev vrstic (npr. {{1, 2, -1}, {0, 3, -2}, {-1, -1, 0}}).
Matriko lahko vnesemo na dva načina:
	- Kot vektor vrstic, kjer je vsaka vrstica vektor.
	- Z menuja Insert Table/Matrix ... 

Operacije z matrikami:
Osnovne operacije na matrikah v Mathematici označimo s + (seštevanje po komponentah), - (odštevanje po komponentah),
* (množenje po komponentah), . (matrično množenje), ... 

Za izračun transponirane matrike uporabimo ukaz Transpose[], za izračun konjugirane matrike pa ukaz ConjugateTranspose[].
Oba kot vhodni parameter dobita matriko. Matrični izpis rezultata zahtevamo z dodatnim ukazom //MatrixForm (PAZI pri definiranju matričnih spremenljivk!).

7. Dani sta matriki A = (({{1, 2}, {-3, 4}, {5, -6}})) in B = (({{-2, 5}, {7, -1}, {-4, 3}})).
   Izračunajte 3A + 2B in 2A - 5B.
   
   Rezultata:
   (({{-1, 16}, {5, 10}, {7, -12}})), (({{12, -21}, {-41, 13}, {30, -27}}))

8. Dana je matrika A=(({{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}})).
Izračunajte (A^2).

Rezultat:(({{30, 36, 42}, {66, 81, 96}, {102, 126, 150}}))

9. Dani sta matriki  A=(({{-2, 2}, {3, 1}, {0, 4}, {1, -1}}))in  B = (({{5, 0, 4, -1}, {1, 1, 2, -2}})).
Izračunajte 4(A^T)+3B  ter  AB.
Izračunajte še 2A-5(B^T)ter BA.

Rezultati:
(({{7, 12, 12, 1}, {11, 7, 22, -10}})), (({{-8, 2, -4, -2}, {16, 1, 14, -5}, {4, 4, 8, -8}, {4, -1, 2, 1}})), (({{-29, -1}, {6, -3}, {-20, -2}, {7, 8}})),(({{-11, 27}, {-1, 13}}))