Taylorjeva in Fourierova vrsta

Taylorjeva vrsta

Ukaz Series[] razvije funkcijo v Taylorjevo vrsto, ki pa še ni uporabna za vstavljanje števil. Ukaz Normal[Series[..]] bo iz vrste izbrisal  ostanek in napravil navaden polinom, v katerega se lahko vstavi število x.

?Series
?Normal

1. Naj bo n naravno število,(npr. n=7). Razvijte funkcijo f(x) = sin(x)v Taylorjevo vrsto v okolici točke (Subscript[x, 0])=0 do vključno potence n
in uporabite tako dobljeno vrsto za izračun vrednosti sin(1°). S spreminjanjem n ugotovite,koliko je potreben n,da bo rezultat natančen do (10^(-30)).
Rezultat: n=11

2. Funkcijo    f(x)=(∫_0^x) ((1-(e^(-(t^2))))/t)dt    aproksimirajte s polinomom desete stopnje tako, da funkcijo pod integralom razvijete v Taylorjevo vrsto.
Narišite grafa polinoma in funkcije f(x), ter primerjajte grafa na intervalu (0,2). Pri risanju grafa funkcije f(x) uporabite  ukaz  NIntegrate[].
 Rezultat: ((x^2)/2)-((x^4)/8)+((x^6)/36)-((x^8)/192)+((x^10)/1200)

Fourierova vrsta

Za razvoj funkcij v trigonometrične vrste ima Mathematica vgrajene funkcije.

?FourierSeries
?FourierTrigSeries
?FourierSinSeries
?FourierCosSeries

Verzija Mathematica 8 te funkcije razpozna na pričakovan način. V prejšnjih verzijah je bilo s Fourierovimi vrstami več težav. V spomin je bilo potrebno naložiti njihove definicije z naslednjim ukazom. Pa tudi privzeta nastavitev parametrov je bila nenavadna.

Needs["FourierSeries`"]

3. Funkcijo    f(x)={  ({{ 0 ,  -π<x<0}, {x ,     0<x<π}})
razvijte v
  a.  Fourierovo  vrsto na intervalu  (-π,π)
b.  sinusno Fourierovo  vrsto na intervalu  (0,π)
c.  kosinusno Fourierovo  vrsto na intervalu  (0,π)

Narišite grafe delnih vsot (upoštevajte indekse do n=10) na intervalu (-π,π) in primerjajte grafe z grafom funkcije  y=f(x).

Funkcijo zlepljeno iz dveh formul se da zapisati z ukazom  If[].

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk v programu Mathematica obravnavamo z različnimi ukazi:
za risanje grafov RegionPlot[], ContourPlot[], Plot3D[],
za odvajanje D[]
in za reševanje enačb Solve[].

?RegionPlot
?ContourPlot
?Plot3D
?D
?Solve

Definicijsko območje funkcije dveh spremenljivk je podmnožica realne ravnine, kjer je funkcija definirana.
Uporabimo ukaz RegionPlot[], ki kot vhodne parametre dobi eno ali seznam večih neenačb ter meje za spremenljivki x in y.

4. Narišite definicijsko območje funkcije f(x,y)=ln(x^2+y).

Nivojske krvulje ali nivojnice funkcije z = f(x,y) so krivulje f(x,y) = c v definicijskem območju funkcije f na katerih zavzame f konstantno vrednost c. Za izris nivojnic uporabimo ukaz ContourPlot[], ki kot vhodne parametre dobi eno ali seznam večih enačb ter meje za spremenljivki x in y. Za graf funkcije uporabimo ukaz Plot3D[], ki kot vhodne parametre dobi funkcijski predpis ter meje za spremenljivki x in y.

5. Narišite nivojske krivulje funkcije f(x,y)=x^2+y^2,za c=1,4,9,16.

6. Narišite graf funkcije f(x,y)=x^2+y^2.

Parcialne odvode funkcije več spremenljivk izračunamo tako, da odvajamo po eni spremenljivki, ostale spremenljivke pa obravnavamo kot konstante. Druge parcialne odvode dobimo tako, da parcialno odvajamo prve parcialne odvode. Opazimo (f = f(x,y)): ∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x.

7. Izračunajte vse prve parcialne odvode funkcije f(x,y)=arctan((x+y)/(1-xy)).
Rezultati:∂f/∂x=1/(1+x^2),∂f/∂y=1/(1+y^2)

8. Izračunajte še vse druge parcialne odvode dane funkcije.
Rezultati:∂^2f/∂x^2=-2x/(1+x^2)^2,∂^2f/∂x∂y=0,∂^2f/∂y^2=-2y/(1+y^2)^2

Ukaz D[] kot vhodne parametre dobi funkcijski predpis ter spremenljivko po kateri odvajamo. Če gre za večkratni odvod, drugi argument nadomestimo s seznamom, ki ga sestavljata spremenljivka in kratnost odvoda. Dani ukaz lahko gnezdimo.

9. Izračunajte tretji parcialni odvod ∂^3f/∂y^2∂z (fyyz) za funkcijo f(x,y,z)=x^2/(y^2+z^2).
Rezultat:∂^3f/∂y^2∂z=-8x^2(5y^2z-z^3)/(y^2+z^2)^4

10. S pomočjo totalnega diferenciala izračunajte približno vrednost izraza sin (32°) cos (59°).
Rezultat:0.2726724920529277`