Ekstremi funkcij več spremenljivk

Lokalni in vezani ekstremi

Stacionarno ali kritično točko (x0,y0) funkcije z = f(x,y) dobimo tam, kjer je ∂z/∂x = 0 in ∂z/∂y = 0. Izračunamo še druge parcialne odvode v stacionarni točki (x0,y0): A = ∂^2z/∂x^2(x0,y0), B = ∂^2z/∂x∂y(x0,y0) in C = ∂^2z/∂y^2(x0,y0). V stacionarni točki dobimo lokalni ekstrem, če je Δ = AC - B^2 > 0. Če je poleg tega A > 0 imamo lokalni minimum, če pa je A < 0 imamo lokalni maksimum. Če je Δ < 0 nimamo ekstrema ampak sedlo. Če je Δ = 0 lahko ekstrem je, ali pa ga ni, odvisno od višjih odvodov.

1. Poiščite stacionarne točke in lokalne ekstreme funkcije f(x,y)=E^(2 x) (x+y^2+2 y).
Rezultat:V stacionarni točki (1/2,-1) imamo lokalni minimum.

Vezani ekstrem funkcije z = f(x,y) pri pogoju ϕ(x,y) = 0 lahko nastopi v stacionarnih točkah Lagrangeove funkcije F(x,y,λ) = f(x,y) + λ ϕ(x,y).

2. Katera točka na premici y=2x+3 je najbližja koordinatnemu izhodišču? Koliko je oddaljena?
Rezultati:(-6/5,3/5),(3/(Sqrt[5]))

Diferencialne enačbe

Diferencialne enačbe prvega reda

Diferencialne enačbe v programu Mathematica rešujemo z ukazom DSolve[]. Vhodni parametri tega ukaza so diferencialna enačba oz. seznam diferencialnih enačb, če rešujemo sistem, odvisna spremenljivka, oz. seznam odvisnih spremenljivk, ter neodvisna spremenljivka. V kolikor imamo podane tudi začetne ali robne pogoje, le-te navedemo v skupnem seznamu z diferencialnimi enačbami.

?DSolve

Linearna diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike p(x)y' + q(x)y = r(x). Splošno rešitev zapišemo v obliki y(x) = yh(x) + yp(x), kjer je yh splošna rešitev homogene enačbe p(x)y' + q(x)y = 0 (ločljive spremenljivke!) in yp partikularna rešitev nehomogene enačbe.

3. Rešite linearno diferencialno enačbo prvega reda x ln(x) y'-2 y=ln(x). Poiščite še tisto rešitev dane diferencialne enačbe, ki gre skozi točko T(e,2).
Rezultati:y(x)=-ln(x)+C ln^2(x), y(x)=-ln(x)+3 ln^2(x)

Bernoullijeva diferencialna enačba je enačba oblike p(x)y' + q(x)y = r(x)y^(α). Z vpeljavo nove spremenljivke z = y^(1-α), kjer je z' = (1-α)y^(-α)y' jo prevedemo na linearno enačbo p(x)/(1-α) z' + q(x)z = r(x).

4. Rešite Bernoullijevo diferencialno enačbo x y'-4y=2x^2 sqrt(y).
Rezultat:y(x)=C^2 x^4+2C x^4 ln(x)+x^4 ln^2(x)

Eksaktna diferencialna enačba je enačba oblike P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, kjer je ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Tedaj obstaja taka funkcija z(x,y), da je dz = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Splošna rešitev je dana implicitno z enačbo z(x,y) = C.

5. Ali je diferencialna enačba (1+y^2 sin(2x))dx-2y cos^2(x) dy=0 eksaktna? Če je, poiščite rešitev te diferencialne enačbe.
Rezultati:DE je eksaktna, x-y^2/2+C-y^2 cos(2x)/2=0

Opomba: Ukaz TrigReduce[] uporabljamo za poenostavitev trigonometričnih izrazov, ukaz Simplify[] pa za poenostavitev algebraičnih izrazov.

?TrigReduce
?Simplify

Diferencialne enačbe višjega reda

Homogena linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti je enačba oblike y'' + p y' + q y = 0. Enačbo rešujemo z nastavkom y = e^(λ x), ki nas privede do karakteristične enačbe λ^2 + p λ + q  = 0. Splošno rešitev zapišemo glede na rešitve dobljene kvadratne enačbe:
a) λ1 ≠ λ2, λ1, λ2 ∈ ℝ : y(x) = C1 e^(λ1 x) + C2 e^(λ2 x),
b) λ1 = λ2 = λ ∈ ℝ : y(x) = C1 e^(λ x) + C2 x e^(λ x),
c) λ1,2 = u ± iv ∈ ℂ : y(x) = e^(u x) (C1 cos(v x) + C2 cos(v x)).

6. Rešite linearne diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti:
y''-4y'+3y=0, y''-2y'+y=0, y''+2y'+5y=0.
Rezultati:y(x)=C e^x+D e^(3x), y(x)=C e^x+D x e^x, y(x)=e^(-x) (C cos(2x)+D sin(2x))

Linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti je enačbe oblike y'' + p y' + q y = r(x). Splošno rešitev zapišemo v obliki y(x) = yh(x) + yp(x), kjer je yh splošna rešitev homogene enačbe y'' + p y' + q y = 0 in yp partikularna rešitev nehomogene enačbe.

7. Rešite začetni problem y''+4y'+3y=4e^(-x),y(0)=0,y'(0)=2.
Rezultat:y(x)=2 x e^(-x)

Sistem linearnih diferencialnih enačb prvega reda je ekvivalenten diferencialni enačbi višjega reda.

8. Rešite sistem diferencialnih enačb x'=2x-y,y'=-x+2y,x(0)=1,y(0)=-3.
Rezultat:x(t)=e^t (-1+2 e^(2t)),y(t)=-e^t (1+2 e^(2t))