Najprej spoznajmo ukaz  Manipulate , ki ga uporabimo za dinamično predstavitev raznih rezultatov.

Manipulate[
Plot[a(x-b)^2+c,{x,-5,5},PlotRange->{-20,20},PlotStyle->Thick],
{a,-3,3},{b,-3,3},{c,-3,3}]

Manipulate[
Graphics[Polygon[{A,B,C}],PlotRange->5]
,{{A,{0,0}},Locator}
,{{B,{1,4}},Locator}
,{{C,{2,3}},Locator}
]

Fourierova  transformacija

F(ω)=(∫_(-∞)^∞)f(t)(E^(Iωt))\[DifferentialD]t

f(t)=(1/(2π))(∫_(-∞)^∞)F(ω)(E^(-Iωt))\[DifferentialD]ω          inverzna formula
(Subscript[F, s])(ω)=(∫_0^∞)f(t)sin(ωt)\[DifferentialD]t         Fourier-sin tranformacija
(Subscript[F, c])(ω)=(∫_0^∞)f(t)cos(ωt)\[DifferentialD]t        Fourier-cos tranformacija

1.  Nariši graf funkcije

f (t) = {  ({{sin t, , če}, {0, , če}})     ({{0≤ t ≤ π}, {t<0  ali  t>π}})

Za definicijo zlepljene funkcije so primerni ukazi   If , Which  ali  PieceWise .

2. Poišči Fourierovo transformacijo funkcije iz 1. naloge.
   Nato izračunaj inverzno Fourierovo transformacijo dobljene funkcije
   in grafično preveri, da se rezultat ujema s prvotno funkcijo.
      Nalogo reši na dva načina :
    a) Po definiciji transformirank in z ukazom Integrate za določeni integral.
    b) Mathematica ima za integralske transformacije vgrajene ukaze : FourierTransform, ...

Razlika med rešitvama je v ne čisto enakih definicijah transformirane in inverzne funkcije.
 Tu so tri različne konvencije, ki jih razni avtorji uporabljajo:
    F(ω)=(∫_(-∞)^∞)f(t)(E^(Iωt))\[DifferentialD]t                          f(t)=(1/(2π))(∫_(-∞)^∞)F(ω)(E^(-Itω))\[DifferentialD]ω                   (Tomšič,Slivnik)
	F(ω)=(1/(Sqrt[2π]))(∫_(-∞)^∞)f(t)(E^(Iωt))\[DifferentialD]t              f(t)=(1/(Sqrt[2π]))(∫_(-∞)^∞)F(ω)(E^(-Itω))\[DifferentialD]ω                (Wolfram Mathematica)
               F(ω)=(1/(Sqrt[2π]))(∫_(-∞)^∞)f(t)(E^(-Iωt))\[DifferentialD]t            f(t)=(1/(Sqrt[2π]))(∫_(-∞)^∞)F(ω)(E^(Itω))\[DifferentialD]ω                  (Kreyszig)
Program Mathematica se tem konvencijam prilagaja z opcijo  FourierParameters.
Mi torej uporabljamo FourierParameters->{1,1}

3. Uporabi ukaz  Manipulate  in prikaži grafa funkcije
 f(t)=(e^(-t^2/a))  in njene Fourierove transformiranke v isti koordinatni sistem za vrednosti parametra a∈[1,5].

4.  Z ukazom Plot  nariši graf funkcije
f (t) = {  ({{(e^(-t/10))sin (10t), , če}, {0, , če}})     ({{t ≥0}, {t<0}}) 
in nariši graf gostote spektra  |F(ω)| z ukazom  LogLogPlot  na intervalu  ω∈[0.1 , 100]!

Primeri nalog za preverjanje

6. Poišči  Fourierovo  transformacijo  F(ω)  funkcije  f(t)= (E^(-|t|))
      Koliko je  F(4)  ?

Rezultat: 0.117647

7.   Funkcija  θ(t)  je enotna stopnica.  V Mathematici se imenuje UnitStep. 
f(t)= θ(t-3) - θ(t-5)   ,  g(t)=( 1-|t| ) (  θ(t-1) - θ(t+1) )
          Koliko je vrednost konvolucije  h(t)= (f*g)(t)  v času  t=4.5 ?

Rezultat: -0.875

8.   Poišči  inverzno Fourierovo  transformacijo funkcije  F(ω) = (E^(-2|ω|))  .
Koliko je  f(1/2) ?

Rezultat: 0.149793

9.   Poišči  Fourier-kosinusno   transformacijo  (Subscript[F, c])(ω)  funkcije  f(t)=θ(t-2) - θ(t-6)  .
Nato poišči ničle funkcije   (Subscript[F, c])(ω) . Koliko je najmanjša pozitivna ničla ? 

Rezultat: 0.392699

Analiza  konvolucije  funkcije  f (t)  s  konstanto

Naloga je odkriti,kakšno preoblikovanje poljubne funkcije f(t) predstavlja konvolucija te funkcije
 z naslednjo konstantno funkcijo.  Kakšen je vpliv parametra  σ ?

konst (t) = {({{(1/(2σ)), , če | t |≤ σ}, {    0     , , če | t |> σ}})

Izpeljemo:
(f*konst)(t)= (∫_(-∞)^∞)f(u)konst(t-u)\[DifferentialD]u =  1/(2σ)(∫_(t-σ)^(t+σ))f(u)\[DifferentialD]u=
1/(2σ)*( ploščina pod krivuljo f(u) na intervalu  t-σ<u<t+σ )=
povprečna vrednost funkcije f(u) na tem intervalu

konst[t_,σ_]=Which[t<-σ,0,t<σ,1/(2σ),True,0];
Plot[konst[t,0.2],{t,-2,2},PlotStyle->Thick]
(*kvluc[t_,σ_]=Integrate[f[u]konst[t-u,σ],{u,-∞,∞}];*)
kvluc[t_,σ_]:=(1/(2σ))Integrate[f[u],{u,t-σ,t+σ}];

Za primer vzemimo naslednjo nezvezno funkcijo f(t).

Clear[f]
f[t_]=Which[t<0,0,t<1,1,t<2,2,True,3];
graff=Plot[f[t],{t,-3,6},PlotStyle->Thick,AspectRatio->Automatic]

(* formula za ploščino pod f[t] v širini 2σ okrog t *)
plosc[t_,σ_]:=Block[{ogli,n},
ogli={{t+σ,f[t+σ]},{t+σ,0},{t-σ,0},{t-σ,f[t-σ]}};
For[n=Max[Ceiling[t-σ],0],n≤Min[Floor[t+σ],3],n++,
ogli=Join[ogli,{{n,n},{n,f[n]}}];]
Print[ogli];
Polygon[ogli]
]

V naslednjem ukazu Manipulate:
Z miško vlečemo neodvisno spremenljivko t po abscisni osi.
Rdeča pika sledi vrednosti konvolucije (f*konst)(t).
Zeleno je obarvana ploščina pod funkcijo f na intervalu ( t-σ , t+σ ).
Parameter σ  lahko spreminjamo.

Manipulate[
Show[
graff,(* graf funkcije *)
Graphics[
{FontSize->18,
Text["t",{(Subscript[tt, [[1]]]),-0.4}],
Text[StringJoin["σ= ",ToString[σ]],{-2.5,2.5}],
{RGBColor[0.8,1,0.8],plosc[(Subscript[tt, [[1]]]),σ]}, (* zelena plosčina *){RGBColor[1,0,0],Disk[{(Subscript[tt, [[1]]]),kvluc[(Subscript[tt, [[1]]]),σ]},0.1]}} (* rdeča pika *)
],PlotRange->{{-3,6},{-0.5,3.5}},AspectRatio->Automatic,ImageSize->{800,300},TicksStyle->Directive[14],Ticks->{{-2,-1,1,2,3,4,5},{1,2,3}}],
{σ,0.1,1},{{tt,{-1,-0.2}},{-1,-0.5},{4,0},Locator,Appearance->None}]

V naslednjem ukazu sta prikazana grafa funkcije in konvolucije s konstanto.
Opazujmo vpliv parametra  σ !

Manipulate[
Show[
graff,
Plot[kvluc[t,σ],{t,-3,6},PlotStyle->{Red,Thick},AspectRatio->Automatic]
],{σ,0.01,1}]

Odgovor :
Konvolucija neke funkcije f (t) z dano konstantno funkcijo predstavlja glajenje funkcije.
f*konst je zvezna funkcija in se prilega funkciji f . Parameter σ pomeni stopnjo glajenja.

Konvolucija dane funkcije  f(t)  s konstanto oz. Gaussovo krivuljo   (1/(σ(Sqrt[2π])))(E^(-((t^2)/(2(σ^2)))))

σ=0.1;
f[t_]:=Which[t<0,0,t<1,1,t<2,2,True,3];
Konst[t_]:=Which[t<-σ,0,t<σ,1/(2σ),True,0];
Gauss[t_]:=Exp[-t^2/(2σ^2)]/(σ Sqrt[2Pi]);

KvlucKonst[t_]:=NIntegrate[Konst[u]f[t-u],{u,-5σ,5σ},AccuracyGoal->4,PrecisionGoal->4];
KvlucGauss[t_]:=NIntegrate[Gauss[u]f[t-u],{u,-5σ,5σ},AccuracyGoal->4,PrecisionGoal->4];

Show[GraphicsArray[{
{Plot[Konst[t],{t,-3,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[2],AspectRatio->Automatic,
TicksStyle->Directive[14],PlotRange->All],
Plot[KvlucKonst[t],{t,-3,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[2],AspectRatio->Automatic,TicksStyle->Directive[14]]},
{Plot[Gauss[t],{t,-3,3},PlotStyle->AbsoluteThickness[2],AspectRatio->Automatic,TicksStyle->Directive[14],PlotRange->All],
Plot[KvlucGauss[t],{t,-3,4},PlotStyle->AbsoluteThickness[2],AspectRatio->Automatic,TicksStyle->Directive[14]]}
}]]