Laplaceova  transformacija

F(s)=(∫_0^∞)f(t)(E^(-st))\[DifferentialD]t

f[t]=t^2
Integrate[f[t]E^(-s t),{t,0,∞}]

Pogoj, da nas rezultat zanima samo za  s > 0 , lahko zapišemo kot opcijo v ukaz  Integrate.
Mathematica ima vgrajene funkcije za Laplaceovo transformacijo.
Ukaza sta LaplaceTransform[] in InverseLaplaceTransform[].
Imeni neodvisnih spremenljivk (pri nas običajno t in s) je treba v ukazih navesti!

Integrate[f[t]E^(-s t),{t,0,∞},Assumptions->s>0]
LaplaceTransform[f[t],t,s]
InverseLaplaceTransform[%,s,t]

Laplaceove transformacije osnovnih elementarnih funkcij.
Funkcijo Gamma, ki je tudi vgrajena v Mathematico bomo še spoznali.

LaplaceTransform[{1,t,t^n,E^(a t),Sin[ω t],Cos[ω t]},t,s]
FullSimplify[Gamma[n+1],Assumptions->n∈Integers && n>0]

Dogovora o pisavi  ℒ[ f(t) ] = F[s]  Mathematica ne pozna.
Po želji, lahko to pisavo posredujemo Mathematici z operatorjem  /.

LaplaceTransform[x[t],t,s]
LaplaceTransform[x[t],t,s]/.LaplaceTransform[x[t],t,s]->X[s]

1.  Izračunaj  inverzno Laplaceovo transformacijo funkcije
      F(s)=(s/((((s^2)+1))^2))
     na tri načine:
1. z ukazom  InverseLaplaceTransform
        2. z inverzno formulo  ∑Res(F(s)(e^st))
        3. s pravilom o konvoluciji f(t)=(ℒ^(-1))[(1/((s^2)+1))] * (ℒ^(-1))[(s/((s^2)+1))]
Rezultat:(t/2) sin t

2.  Reši diferencialno enačbo  x''+2x'+2x=0
      pri začetnih vrednostih  x(0)=1  , x'(0)=-1.
      Koliko je  N[x(1)] ?

Rezultat: 0.198766

Primeri nalog za preverjanje

3.  Reši diferencialno enačbo  y'''-2y''+y'=4
      pri začetnih vrednostih  y''(0)=1  , y'(0)=2  , y(0)=-2.

Rezultat:y(t)=3-5 (E^t)+4 t+3 (E^t) t

4.  Reši robni problem
	2x''(t)+5x'(t)+2x(t)=Sin t
	x(0)=2  , x(1)=3.
      Koliko je x(2) ?

      Rezultat: 2.20841

5.  Poišči funkcijo x(t) , ki reši integralsko enačbo

	x(t) = 1+(1/2)(∫_0^t)sin2(t-u) x(u)\[DifferentialD]u
      Rezultat:x(t)=((4-cos(Sqrt[3])t)/3)

6.  Reši sistem diferencialnih enačb
	x'=y-z
	y'=x+z
	z'=y-x
      pri začetnih vrednostih  x(0)=1  , y(0)=0  , z(0)=-1.

Rezultat: x(t)=(E^t)   y(t)=0    z(t)=-(e^t)