Funkcija  Gama

Γ(x)=(∫_0^∞)(t^(x-1))(E^(-t))\[DifferentialD]t

Plot[Gamma[x],{x,0,5},PlotStyle->Thick]
FullSimplify[Gamma[n+1],Assumptions->n∈Integers && n>0]
FullSimplify[Gamma[x+1]==x Gamma[x]]

Legendrovi  polinomi  (Subscript[P, n])(x)

((x^2)-1)y''+2xy'-n(n+1)y=0

Ena rešitev zgornje Legendrove diferencialne enačbe je polinom
	(Subscript[P, n])(x) =(∑_(k=0)^N)(((-1))^k)(( (2 n-2 k)! )/((2^n) k! (n-k)! (n-2 k)!))(x^(n-2 k))                      , kjer je   N=Floor[(n/2)]
V Mathematici  ga zapišemo   LegendreP[n,x].

(* Preizkus, da je funkcija y=LegendreP[n,x] rešitev Legendrove diferencialne enačbe *)
Table[
y=LegendreP[n,x];
Simplify[(x^2-1)D[y,x,x]+2x D[y,x]-n(n+1)y]
,{n,0,10}]

(Subscript[P, n])(x)  je polinom sopnje n.
(Subscript[P, 2n])(x) je soda funkcija, (Subscript[P, 2n+1])(x) je liha funkcija.
(Subscript[P, n])(1)=1 .

Table[LegendreP[n, x],{n,0,4}]
Table[LegendreP[n, 1],{n,0,4}]
Plot[Table[LegendreP[n, x],{n,0,4}],{x,-2,2},PlotStyle->Thick,ImageSize->500,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2,2}]

Enačba (Subscript[P, n])(x)=0  ima n realnih ničel in vse ležijo na intervalu  (-1,1).

MX=1.25;
NP=15;
Plot[LegendreP[NP,x],{x,-MX,MX},PlotStyle->Thick,ImageSize->500]
NSolve[LegendreP[NP,x]==0,x]

Legendrovi polinomi so ortogonalni brez uteži na intervalu (-1,1)

(∫_(-1)^1)(Subscript[P, n])(x)(Subscript[P, m])(x)dx  =  0

n=RandomInteger[{1,20}]
m=RandomInteger[{0,n-1}]
Integrate[LegendreP[n,x]LegendreP[m,x],{x,-1,1}]

Poljubno funkcijo lahko razvijemo po Legendrovih polinomih:

f (x)=(∑_(n=0)^∞)(Subscript[C, n])(Subscript[P, n])(x)         ,     kjer  je              (Subscript[C, n])=(1/(||(Subscript[P, n])((||)^2) ))(∫_(.1)^1)f(x)(Subscript[P, n])(x)dx       ,     ||(Subscript[P, n])((||)^2)=(∫_(-1)^1)((Subscript[P, n])^2)(x)dx

Primeri nalog za preverjanje

1.Poišči začetek vrste (do vključno potence  M=6 ) 
      y=(∑_(n=0)^∞) (Subscript[c, n])(x^n)   , ki je rešitev diferencialne enačbe 
   y''-2x y' +y = 0  , y(0)=1  , y'(0)=-1
Rezultat:1-x-((x^2)/2)-((x^3)/6)-((x^4)/8)-((x^5)/24)-((7 (x^6))/240)

(* ukazi, ki jih bomo potrebovali *)
Table[n^2,{n,1,4}]
Sum[n^2,{n,1,4}]
CoefficientList[7+2x-6x^2+4x^4,x]
Take[%,3]

2.  Razvij funkcijo  f(x)=|x-(1/3)| po  Legendrovih polinomih :
       f(x)=(∑_(n=0)^∞) (Subscript[c, n])(Subscript[P, n])(x)
      (a)  Zapiši začetek vrste do vključno (Subscript[P, 4])(x) !
      (b)   Koliko je (∑_(n=0)^4) (Subscript[c, n])  ?

Rezultat:
           (a)    (5/9)-((13 x)/27)+(20/81) (-1+3 (x^2))+(28/243) (-3 x+5 (x^3))+(1/243) (-3+30 (x^2)-35 (x^4))
           (b)   0.765432

3.  Poišči  polinom  3.stopnje  p(x)=(x^3)+a (x^2)+b x+c,
      ki  je ortogonalen na funkcije  (Subscript[f, n])(x)=(x^n) , n=0,1,2
      na intervalu  (1,3)  z utežjo  ρ(x)=x.
      Koliko je  p(3) ?

      Rez: 0.32437

3a.  Poišči  polinom  13.stopnje  p(x)=(x^13)+(∑_(n=0)^( 12)) (Subscript[c, n])(x^n) ,
      ki  je ortogonalen na funkcije  (Subscript[f, n])(x)=(x^n)  ,  n=0,1,...,12
      na intervalu  (1,3)  z utežjo  ρ(x)=x.
      Koliko je  p(3) ?

      Rez: 0.000626003

4.  Poišči  polinom  stopnje 5   p(x)=(∑_(n=0)^( 5)) (Subscript[c, n])(x^n) , ki je normiran
      in je ortogonalen na  funkcije  (Subscript[f, n])(x)=(x^n)  ,  n=0,1,... , 4
      na intervalu  (1,3)  z utežjo  ρ(x)=x.
      Koliko je  |p(3)| ?

      Rez: 1.37971