Besselove funkcije

(x^2)y''+x y'+((x^2)-(ν^2))y=0

Ena rešitev zgornje Beselove diferencialne enačbe je Besselova funkcija prve vrste reda ν:
	(Subscript[J, ν])(x) =(∑_(k=0)^N)(((((-1))^k) )/( k! Γ(ν+k+1)))((((x/2)))^(ν+2 k)) 
V Mathematici  jo zapišemo  BesselJ[ν,x].

Plot[BesselJ[10,x],{x,0,40},PlotStyle->Thick]

Bes0=Plot[BesselJ[0,x],{x,0,20},PlotStyle->{Thick,Red}];
Bes1=Plot[BesselJ[1,x],{x,0,20},PlotStyle->{Thick,Blue}];
b1=BesselJZero[1,1];
b2=BesselJZero[1,2];
crte=ParametricPlot[{{b1,y BesselJ[0,b1]},{b2,y BesselJ[0,b2]}},{y,0,1}];Show[Bes0,Bes1,crte]

1.  Ničle Besselovih funkcij imajo poseben pomen. Ničel posamezne
     Besselove funkcije je ∞ mnogo; niso pa enakomerno razporejene !

     Napravi seznam  {(Subscript[α, k,0]),k=1,2,...,9}  prvih 9 ničel funkcije  (Subscript[J, 0])(x).
     Nato napravi seznam razlik {(Subscript[α, k+1,0])-(Subscript[α, k,0]),k=1,2,...,9}.
     Koliko se zdi, da je   (Underscript[l i m, k-> ∞])  ((Subscript[α, k+1,0])-(Subscript[α, k,0]))   ?

Solve[BesselJ[0,x]==0,x]

FindRoot[BesselJ[0,x],{x,2}]
N[BesselJZero[0,1]]
Table[BesselJ[0,BesselJZero[0,n]],{n,1,4}]

Ortogonalnost  Besselovih  funkcij

Za fiksen  n sestavjajo  Besselove funkcije prve vrste   (Subscript[J, n])(((Subscript[α, mn])/R)x)   m=1,2,3,... 
ortogonalen sistem funkcij na intervalu  (0,R)  z utežjo p(x) = x , kjer je  (Subscript[α, mn]) m-ta ničla funkcije  (Subscript[J, n])(x).

Teh ortogonalnih sistemov je neskončno mnogo; za vsak n eden.
Pobliže si ogledamo ortogonalen sistem za  n=0.

Vsaka ničla  (Subscript[α, m0])  določa eno funkcijo, in ortogonalen sistem sestavljajo funkcije

(Subscript[J, 0])(((Subscript[α, 10])/R)x)  ,  (Subscript[J, 0])(((Subscript[α, 20])/R)x)  ,  (Subscript[J, 0])(((Subscript[α, 30])/R)x)  ,  ...

Grafi nekaj prvih funkcij  (Subscript[J, 0])(((Subscript[α, m0])/R)x)  iz ortogonalnega sistema:

R=2;
Table[
αm0=N[BesselJZero[0,m]];
Plot[BesselJ[0,((αm0)/R)x], {x,0,R},PlotStyle->Thick],
{m,1,6}]

2.  Preveri ortogonalnost Besselovih funkcij in izračunaj njihove norme, tj. izračunaj integrale
    
      (∫_0^R)x (Subscript[J, n])(((Subscript[α, jn])/R)x)  (Subscript[J, n])(((Subscript[α, kn])/R)x) dx           če         j≠k

    ||(Subscript[J, n])(((Subscript[α, mn])/R)x) ((||)^2) = (∫_0^R)x ((Subscript[J, n])^2) (((Subscript[α, mn])/R)x)  dx
      
     Rezultata: 0  , ((R^2)/2)((Subscript[J, n+1])^2) ((Subscript[α, mn]))

k=137;
Sin[k π]
BesselJ[0,BesselJZero[0,k]]
Clear[k]
Sin[k π]
BesselJ[0,BesselJZero[0,k]]

(* V Mathematici 6 preizkus za Besselove funkcije ne deluje *)Simplify[Sin[k π],Assumptions->k∈Integers]
FullSimplify[BesselJ[0,BesselJZero[0,k]],Assumptions->{k∈Integers,k>0}]

Clear[R,n,m]
gj[x_]:=BesselJ[n,((BesselJZero[n,j])/R)x];
gk[x_]:=BesselJ[n,((BesselJZero[n,k])/R)x];
Integrate[x*gj[x]*gk[x],{x,0,R},Assumptions->{n∈Integers,n>-1}]
%/.{ BesselJ[n,BesselJZero[n,j]]->0,BesselJ[n,BesselJZero[n,k]]->0}

Integrate[x BesselJ[n,((BesselJZero[n,m])/R)x]^2,{x,0,R},Assumptions->{n∈Integers,n>-1}]/.BesselJ[n,BesselJZero[n,m]]->0

Poljubno funkcijo  f(x)  se da razviti po Besselovih  unkcijah  (Subscript[J, 0])(((Subscript[α, k0])/R)x) na intervalu    0<x<R:
 f(x)=(∑_(k=1)^∞)(Subscript[C, k])(Subscript[J, 0])(((Subscript[α, k0])/R)x)              ,kjer je       (Subscript[C, k])=(1/(((R^2)/2)((Subscript[J, 1])^2)((Subscript[α, k0]))))(∫_0^R)xf(x)(Subscript[J, 0])(((Subscript[α, k0])/R)x)dx

3.  Izračunaj prve  M=4   člene v razvoju funkcije  f(x)=(2+x)(20-11x)
      po Besselovih funkcijah  (Subscript[J, 0])(((Subscript[α, k0])/2)x)   na intervalu   (0,2) !
    Uspešnost rešitve preveri grafično!

Primeri nalog za preverjanje

1. S povezavo  y=(x^3)z   vpelji  v diferencialno enačbo
      (x^2)y''-5x y'+((x^2)-40)y=0
      novo neznano funkcijo z(x). Ena rešitev nastale enačbe je
      Besselova funkcija prve vrste  z=(Subscript[J, n])(x).
     Koliko je  13-ta  pozitivna ničla te funkcije ?

      Rezultat:50.5682

2. Poišči rešitev  u(x,y)  parcialne diferencialne enačbe
      (Subscript[u, x])+y u =(y^2)    ,    u(0,y)=y+3
     Koliko je  u(1,2) ?

      Rezultat:2.4060058497098384`

3. Poišči rešitev  u(x,y)  parcialne diferencialne enačbe
	(Subscript[u, x y])+y (Subscript[u, x]) =x y 
	u(0,y)=y+1
	(Subscript[u, x])(x,0)=2x+1
     Koliko je  u(1,2) ?

      Rezultat:3.7030029248549194`

4. Poišči rešitev  u(x,y)  parcialne diferencialne enačbe
	(Subscript[u, x])+x (Subscript[u, y]) =0 
	u(1,1)=1
	u(1,2)=2
     v obliki  u(x,y)=X(x)Y(y).  Koliko je  u(2,1) ?

      Rezultat:0.35355339059327373`