Enačba  valovanja  (nihanja)

(((∂^2)u)/(∂ (t^2)))=(a^2)Δ u

1. korak : Separacija spremenljivk
2. korak : Rešitve, ki ustrezajo robnim pogojem
3. korak : Zadostiti začetnim pogojem

Lastna  nihanja  vpete  strune

(Subscript[u, tt])=(a^2)(Subscript[u, xx])             0<x<L  ,  t>0

u(0,t)=0
u(L,t)=0

1. korak : Separacija spremenljivk

u[x,t]=F[x]G[t]
((G''[t])/((a^2)G[t]))=((F''[x])/(F[x]))=-(k^2)

F''[x]+(k^2)F[x]=0
G''[t]+(a^2)(k^2)G[t]=0

2. korak : Rešitve, ki ustrezajo robnim pogojem

F[x]=A Cos[k x]+B Sin[k x]
F[0]=0  Þ   A=0
F[L]=0   Þ    Sin[k L]=0   Þ   k=((n π )/L) , n=1,2...
(Subscript[F, n])[x]=Sin[((n π x )/L)]
(Subscript[λ, n])=((n π a)/L)
(Subscript[G, n])[t]=(Subscript[C, n])Cos[(Subscript[λ, n]) t]+(Subscript[D, n])Sin[(Subscript[λ, n]) t]

(Subscript[u, n])[x,t]=((Subscript[C, n])Cos[(Subscript[λ, n]) t]+(Subscript[D, n])Sin[(Subscript[λ, n]) t])Sin[((n π x)/L)]

Lastna nihanja strune  (Subscript[λ, n])=((n π a)/L)   ,   n=1,2,3...

L=1;
a=1;
n=3;
(Subscript[λ, n])=((n π a)/L);
(Subscript[u, n])[x_,t_]:=Sin[(Subscript[λ, n]) t]Sin[((n π x)/L)];
Animate[
Plot[(Subscript[u, n])[x,t],{x,0,L},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,L},{-1,1}}],
{t,0,((2L)/( a)),((2L)/(100 a))}]

Prosto nihanje prožne strune

(Subscript[u, tt])=(a^2)(Subscript[u, xx])            0<x<L  ,  t>0

u(0,t)=0
u(L,t)=0
u(x,0)=f1(x)
(Subscript[u, t])(x,0)=f2(x)

3. korak : Zadostiti začetnim pogojem

u[x,t]=(∑_(n=1)^∞)((Subscript[C, n])Cos[(Subscript[λ, n]) t]+(Subscript[D, n])Sin[(Subscript[λ, n]) t])Sin[((n π x )/L)]
t=0  Þ
f1[x]=(∑_(n=1)^∞)(Subscript[C, n])Sin[((n π x)/L)]  Þ   (Subscript[C, n])  je koeficient v Fourier-sinusni vrsti za f1[x] na intervalu (0,L)
f2[x]=(∑_(n=1)^∞)(Subscript[D, n])(Subscript[λ, n])Sin[((n π x)/L)]  Þ   (Subscript[D, n])(Subscript[λ, n])   je koeficient v Fourier-sinusni vrsti za f2[x] na intervalu (0,L)

Podatki

L=1;
a=1;
Zacet={
Piecewise[{{(x/L),x<(L/2)},{((L-x)/L),x>(L/2)}}],
Piecewise[{{((2x)/L),x<(L/4)},{(L/2),(L/4)<x<((3L)/4)},{((2(L-x))/L),x>((3L)/4)}}],
6x^3(L-x)
};
f1[x_]=Zacet[[3]];

Plot[f1[x],{x,0,L},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,L},{-1,1}}]
f2[x_]:=0;

Rešitev

M=8; (*število členov v vrsti*)
λ=Table[((n π a)/L),{n,1,M}];
c=Table[(2/L)Integrate[f1[x]Sin[((n π x )/L)],{x,0,L}],{n,1,M}];
d=Table[(2/(L (Subscript[λ, [[n]]]) ))Integrate[f2[x]Sin[((n π x )/L)],{x,0,L}],{n,1,M}];
u[x_,t_]:=Sum[((Subscript[c, [[n]]])Cos[ (Subscript[λ, [[n]]])t]+(Subscript[d, [[n]]])Sin[ (Subscript[λ, [[n]]])t])Sin[((n π x)/L)],{n,1,M}]
(* Preizkus začetne vrednosti *)Plot[u[x,0],{x,0,L},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,L},{-1,1}}]

Animate[
Plot[u[x,t],{x,0,L},PlotStyle->Thick,PlotRange->{{0,L},{-1,1}}],
{t,0,((2L)/( a)),((2L)/(100 a))}]

Primeri nalog za preverjanje

1.  Poiščite rešitev parcialne diferencialne enačbe
	(Subscript[u, xx])=(1/(c^2))(Subscript[u, tt])
	u(0,t)=0
	u(L,t)=0
	u(x,0)=x(L-x)
	(Subscript[u, t])(x,0)=0
     kjer je  c=1.5  in L=3. Vzemite prvih pet členov Fourierove vrste (do vključno (Subscript[A, 5])).
     Koliko je  u(1,2) ?

      Rezultat:-1.99492

2.  Poiščite rešitev parcialne diferencialne enačbe
	(Subscript[u, xx])=(1/(c^2))(Subscript[u, t])
	u(0,t)=0
	u(L,t)=0
	u(x,0)=x(L-x)
     kjer je  c=1/4  in L=2. Vzemite prvih pet členov Fourierove vrste (do vključno (Subscript[A, 5])).
     Koliko je  u(1,2) ?

      Rezultat:0.755769

3. V polarnih koordinatah je rešitev Laplacove  parcialne diferencialne enačbe  Δu(r,φ)=0  funkcija
     u[r,φ]=A0+B0 Log[r]+(∑_(n=1)^∞)( a[n](r^n)+b[n](r^(-n)) ) (A[n] Cos[n φ]+B[n] Sin[n φ])
     
     Določite koeficiente v rešitvi Dirichletove naloge za notranjost kroga
	Δu(r,φ)=0   ,   r<2
	u(2,φ)={ ({{π-|π-2φ|, , če}, {0, , če}})  ({{  0< φ < π}, {-π≤ φ ≤ 0}}) 

     Približno koliko je  u(1,2), če upoštevamo prvih 5 členov Fourierove vrste (do indeksa n=5)?

      Rezultat:1.47238

4. V polarnih koordinatah je rešitev Laplacove  parcialne diferencialne enačbe  Δu(r,φ)=0  funkcija
     u[r,φ]=A0+B0 Log[r]+(∑_(n=1)^∞)( a[n](r^n)+b[n](r^(-n)) ) (A[n] Cos[n φ]+B[n] Sin[n φ])
     
     Določite koeficiente v rešitvi Dirichletove naloge za zunanjost kroga
	Δu(r,φ)=0   ,   r>2
	u(2,φ)={ ({{π-|π-2φ|, , če}, {0, , če}})  ({{  0< φ < π}, {-π≤ φ ≤ 0}}) 
	(lim_(r->∞))  u(r,φ)=0

     Približno koliko je  u(4,1), če upoštevamo prvih 5 členov Fourierove vrste (do indeksa n=5)?

      Rezultat:1.38331