Ukaza, ki jih uporabimo za grafični prikaz rešitve.

PolarPlot[1+Cos[φ],{φ,0,2π},PlotStyle->Thickness[0.02],ColorFunction->Function[{x,y,φ,r},RGBColor[0,φ/(2π),0]],
ColorFunctionScaling->False]

u[r_,φ_]=r;
r=(Sqrt[(x^2)+(y^2)]);
φ=ArcTan[x,y];
DensityPlot[u[r,φ] ,
{x,-1,1},{y,-1,1},
ColorFunction->Function[{u},RGBColor[u,0,1-u]],
RegionFunction->Function[{x,y},r<1],
ColorFunctionScaling->False
]

Laplaceova  enačba 
Δ u = 0
v polarnih koordinatah

1. korak : Separacija spremenljivk

Δ u=(Subscript[u, rr])+((Subscript[u, r])/r)+((Subscript[u, φφ])/(r^2))
u[r,φ]=R[r]F[φ]
(((r^2)R''[r]+r R'[r])/(R[r]))=-((F''[φ])/(F[φ]))=(k^2)

F''[φ]+(k^2)F[φ]=0
(r^2)R''[r]+r R'[r]-(k^2)R[r]=0    (Eulerjeva dif.en.)

2. korak : Rešiti obe diferencialni enačbi; rešitve F(φ) morajo imeti periodo 2π.

F[φ]=A Cos[k φ]+B Sin[k φ]
F[φ+2π]=F[φ]   Þ     k=0,1,2...
(Subscript[F, k])[φ]=(Subscript[A, k]) Cos[k φ]+(Subscript[B, k])Sin[k φ]

(Subscript[R, k])[r]=(Subscript[C, k])(r^k)+(Subscript[D, k])(r^(-k))
(Subscript[R, 0])[r]=(Subscript[C, 0])+(Subscript[D, 0])Log[r]

3. korak

u[r,φ]=(Subscript[C, 0])+(Subscript[D, 0])Log[r]+ (∑_(k=1)^∞)((Subscript[A, k]) Cos[k φ]+(Subscript[B, k])Sin[k φ])((Subscript[C, k])(r^k)+(Subscript[D, k])(r^(-k)))

Dirichletova naloga za notranjost kroga

Δu = 0   ,  r < a     (a je radij kroga)
u(0,φ) < ∞
u(a,φ) = f(φ)

3. korak : Zadostiti vrednostim na robu kroga

u[0,φ] definirana   Þ    (Subscript[D, k])=(Subscript[D, 0])=0
u[r,φ]=(Subscript[A, 0])+(∑_(k=0)^∞)((Subscript[A, k]) Cos[k φ]+(Subscript[B, k])Sin[k φ])(r^k)
u[a,φ]=f[φ]=(Subscript[A, 0])+(∑_(k=0)^∞)((Subscript[A, k]) Cos[k φ]+(Subscript[B, k])Sin[k φ])(a^k)   Þ     
(Subscript[A, 0]),(Subscript[A, k]) (a^k)   in   (Subscript[B, k]) (a^k)  so koeficienti v razvoju funkcije f[φ] v Fourierovo vrsto na intervalu (-π,π)

Podatki

Clear[a,u,r,φ,f]
a=2;
f1[φ_]=Piecewise[{{1,0<φ<π},{0,-π<φ<0}}];
f2[φ_]=If[φ>π/4 && φ<3π/4,1,0];
f3[φ_]=(1+Sin[4φ])/2;
f[φ_]=f1[φ];
PolarPlot[a,{φ,0,2π},PlotStyle->Thickness[0.02],ColorFunction->Function[{x,y,φ,r},RGBColor[f[φ],0,1-f[φ]]],
ColorFunctionScaling->False]

Rešitev

Clear[r,φ,u]
M=5;
A0=(1/(2π))Integrate[f[φ],{φ,-π,π}];
A=Table[(1/π)Integrate[f[φ]Cos[k φ],{φ,-π,π}]/(a^k),{k,1,M}]//N;
B=Table[(1/π)Integrate[f[φ]Sin[k φ],{φ,-π,π}]/(a^k),{k,1,M}]//N;
u[r_,φ_]=A0+Sum[((Subscript[A, [[k]]])Cos[k φ]+(Subscript[B, [[k]]])Sin[k φ])(r^k),{k,1,M}]

(* Vrednost rešitve na robu kroga *)
PolarPlot[a,{φ,0,2π},PlotStyle->Thickness[0.02],ColorFunction->Function[{x,y,φ,r},RGBColor[u[a,φ],0,1-u[a,φ]]],
ColorFunctionScaling->False]

(* Rešitev v notranjosti *)
r=(Sqrt[(x^2)+(y^2)]);
φ=ArcTan[x,y];
DensityPlot[u[r,φ],
{x,-a,a},{y,-a,a},
ColorFunction->Function[{u},RGBColor[u,0,1-u]],
RegionFunction->Function[{x,y},r<a],
ColorFunctionScaling->False
]

Dirichletova naloga za kolobar

Δu = 0   ,  q < r < Q 
u(q ,φ ) = f(φ )
u(Q,φ ) = F(φ )

3. korak : Zadostiti vrednostim na robu kolobarja

u[r,φ]=((Subscript[C, 0])+(Subscript[D, 0])Log[r])+(∑_(k=1)^∞)( (Subscript[C, k])(r^k)+ (Subscript[D, k])(r^(-k)))((Subscript[A, k])Cos[k φ]+(Subscript[B, k])Sin[k φ])

u[r,φ]=((Subscript[α, 0])+(Subscript[γ, 0])Log[r])+(∑_(k=1)^∞)((Subscript[α, k])(r^k)+(Subscript[γ, k])(r^(-k)))Cos[k φ]+((Subscript[β, k])(r^k)+(Subscript[δ, k])(r^(-k)))Sin[k φ]
Vstavimo notranji in zunanji radij
u[q,φ]=((Subscript[α, 0])+(Subscript[γ, 0])Log[q])+(∑_(k=1)^∞)((Subscript[α, k])(q^k)+(Subscript[γ, k])(q^(-k)))Cos[k φ]+((Subscript[β, k])(q^k)+(Subscript[δ, k])(q^(-k)))Sin[k φ]
u[Q,φ]=((Subscript[α, 0])+(Subscript[γ, 0])Log[Q])+(∑_(k=1)^∞)((Subscript[α, k])(Q^k)+(Subscript[γ, k])(Q^(-k)))Cos[k φ]+((Subscript[β, k])(Q^k)+(Subscript[δ, k])(Q^(-k)))Sin[k φ]
Razvijemo funkciji iz podatkov v Fourierovi vrsti
f[φ]=(Subscript[a, 0])+(∑_(k=1)^∞)((Subscript[a, k]) Cos[k φ]+(Subscript[b, k])Sin[k φ])
F[φ]=(Subscript[A, 0])+(∑_(k=1)^∞)((Subscript[A, k]) Cos[k φ]+(Subscript[B, k])Sin[k φ])
in za vsak indeks  k  s primerjavo določimo neznane koeficiente   (Subscript[α, k])  (Subscript[β, k])  (Subscript[γ, k])  (Subscript[δ, k])

Podatki

Clear[r,φ,f]
q=2;
Q=5;
(* primeri različnih podatkov *)
f1[φ_]=1; F1[φ_]=0;
f2[φ_]=Abs[φ/π]; F2[φ_]=1-Abs[φ/π];
(* izbrani funkciji f in F *)
f[φ_]=f1[φ];  F[φ_]=F1[φ];
PolarPlot[{q,Q},{φ,-π,π},PlotStyle->Thickness[0.02],
ColorFunction->Function[{x,y,φ,r},RGBColor[ If[r>q,F[φ],f[φ]] ,0,1-If[r>q,F[φ],f[φ]]]],
ColorFunctionScaling->False]

Rešitev

Clear[r,φ]
M=3;

(* Določitev koeficientov  (Subscript[α, k]),(Subscript[β, k]),(Subscript[γ, k]),(Subscript[δ, k])  za indekse  k=1,2,3,...
   Rezultat so seznami koeficientov α,β,γ,δ *)
For[α=β=γ=δ={};k=1,k≤M,k++,
s=Solve[{
αk (q^k)+γk (q^(-k))==N[(1/π)Integrate[f[φ]Cos[k φ],{φ,-π,π}]],
αk (Q^k)+γk (Q^(-k))==N[(1/π)Integrate[F[φ]Cos[k φ],{φ,-π,π}]],
βk (q^k)+δk (q^(-k))==N[(1/π)Integrate[f[φ]Sin[k φ],{φ,-π,π}]],
βk (Q^k)+δk (Q^(-k))==N[(1/π)Integrate[F[φ]Sin[k φ],{φ,-π,π}]]},{αk,βk,γk,δk}];
AppendTo[α,αk/.(Subscript[s, [[1]]])];
AppendTo[β,βk/.(Subscript[s, [[1]]])];
AppendTo[γ,γk/.(Subscript[s, [[1]]])];
AppendTo[δ,δk/.(Subscript[s, [[1]]])]; ]
(* Določitev koeficientov  (Subscript[α, 0]),(Subscript[β, 0])  za indeks k=0 *)
s=Solve[{
α0+γ0 Log[q]==N[(1/(2π))Integrate[f[φ],{φ,-π,π}]],
α0+γ0 Log[Q]==N[(1/(2π))Integrate[F[φ],{φ,-π,π}]]},{α0,γ0}];

(* Rešitev naloge *)
u[r_,φ_]:=(α0+γ0 Log[r])+(∑_(k=1)^M)(((Subscript[α, [[k]]])(r^k)+(Subscript[γ, [[k]]])(r^(-k)))Cos[k φ]+((Subscript[β, [[k]]])(r^k)+(Subscript[δ, [[k]]])(r^(-k)))Sin[k φ])/.(Subscript[s, [[1]]])

(* Vrednost rešitve na robu kolobarja *)
PolarPlot[{q,Q},{φ,-π,π},PlotStyle->Thickness[0.02],
ColorFunction->Function[{x,y,φ,r},RGBColor[ u[If[r>q,Q,q],φ] ,0,1-u[If[r>q,Q,q],φ]]],
ColorFunctionScaling->False]

(* Rešitev v notranjosti kolobarja *)
r=(Sqrt[(x^2)+(y^2)]);
φ=ArcTan[x,y];
DensityPlot[u[r,φ],
{x,-Q,Q},{y,-Q,Q},
ColorFunction->Function[{u},RGBColor[u,0,1-u]],
RegionFunction->Function[{x,y},q<r<Q]
]

Sistem  { (Subscript[v, i])(x) }  odsekoma linearnih končnih elementov na intervalu [a,b]

Interval [a,b] razdelimo na  n enakih delov s točkami  (Subscript[x, i])=a+i*h  , h=(b-a)/n.
Posamezen element (Subscript[v, i])(x)  naj bo zvezna, odsekoma linearna funkcija in različna od nič samo na intervalu ((Subscript[x, i-1]),(Subscript[x, i+1])).
Tem zahtevam zadoščajo funkcije

	(Subscript[v, i])(x)=ψ (((x-a)/h)-i)   , i = 1,2, ... , n-1     ,    kjer je funkcija ψ(x) = ({{{}})({{1+x, ,, -1<x<0}, {1-x, ,, 0 ≤ x <1}, {0, ,, drugod}})

Clear[a,b,n,h,x,ψ,v]
a=0;
b=1;
n=10;
h=(b-a)/n;
ψ[x_]=Piecewise[{{1+x,-1<x<0},{1-x,0<=x<1}},0];
v[x_]=Table[ψ[(x-a)/h-i],{i,1,n-1}];

Plot[ψ[x],{x,-3,3},PlotStyle->Thick,AspectRatio->Automatic]
Plot[v[x][[3]],{x,a,b},PlotStyle->Thick,PlotRange->All]
Plot[v[x],{x,a,b},PlotStyle->Thick,PlotRange->All]

1.  Z linearno kombinacijo funkcij  {(Subscript[v, i])(x)}  se da na intervalu  (a,b)  aproksimirati poljubna funkcija  f(x),
    za katero je  f(a)=f(b)=0:
   f(x) =(∑_(i=1)^(n-1))(Subscript[C, i])(Subscript[v, i])(x) = (∑_(i=1)^(n-1))f((Subscript[x, i]))(Subscript[v, i])(x)

   Za funkcije iz spodnjega seznama  fff  nariši graf funkcije in njene aproksimacije v isti koordinatni sistem.

fff={Sin[π((x-a)/(b-a))],(x-a)(x-b),(Sqrt[(x-a)^2(b-x)])};

Primeri nalog za preverjanje

1.  Poiščite tisto rešitev u(r,φ)parcialne diferencialne enačbe
	Δu(r,φ)=0     ,    1<r<3
	u(1,φ)=4
	u(3,φ)=8     ,
     ki je neodvisna od kota φ. Koliko je u(2,φ) ?
     Laplacov operator v polarnih koordinatah je
     Δu= (Subscript[u, rr])+(1/r)(Subscript[u, r])+(1/(r^2))(Subscript[u, φφ])

      Rezultat: 6.52372

2.  Poiščite tisto rešitev u(r,φ,θ)parcialne diferencialne enačbe
	Δu(r,φ,θ)=0     ,    3<r<5
	u(3,φ,θ)=3
	u(5,φ,θ)=5    ,
     ki je neodvisna od kotov φ in θ. Koliko je  u(4,φ,θ) ?
     Laplacov operator v sferičnih koordinatah je
     Δu= (Subscript[u, rr])+(2/r)(Subscript[u, r])+(1/(r^2))(Subscript[u, φφ])+((ctg φ)/(r^2))(Subscript[u, φ])+(1/((r^2)(sin^2)φ))(Subscript[u, θθ])

      Rezultat: 4.25

3. Poiščite ekstremalo funkcionala
	(∫_1^2)(y^2)((y')^2)dx      ,      y(1)=1   ,   y(2)=2     
      Koliko je  y(3) ?

      Rezultat: 2.64575

4. Poiščite ekstremalo funkcionala
	(∫_1^2)(((y')^2)+(x^2)y)dx      ,
      pri pogojih      (∫_1^2)xydx=3   ,  y(1)=1   ,   y(2)=2     
      Koliko je  y(3) ?

      Rezultat:  -3.51961