\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 18. junij 2004 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}
 \item Sestavite formulo za pribli"zno ra"cunanje integralov oblike 
    $$ \int_{-1}^1f(x)\,dx\approx a_1f(x_1)+a_2f(x_2)$$
    Dolo"cite koeficienta, $a_1$ in $a_2$ ter vozli"s"ci 
    $x_1$ in $x_2$ tako, da bo 
    formula to"cna za polinome 
	$p_0(x)=1$, $p_1(x)=x$, 
	$p_2(x)=x^2$ in $p_3(x)=x^3$. 
    S pomo"cjo dobljene formule dolo"ci pribli"zno vrednost za integral  
    $$
	\int_{-1}^1\frac{e^x-1}{x}\,dx
    $$

Re"sitev:
\begin{eqnarray*}
    	a_1&=&a_2=1\\
    	x_1&=&-x_2=1/\sqrt{3}\\
        2.11298 && priblizna\\ 
    	2.1145  && tocna 
\end{eqnarray*}
 \item 
   Poi"s"ci tisto re"sitev $X$ nedolo"cenega sistema, 
$$
    \left [
        \begin {array}{ccc} 1&2&3\\\noalign{\medskip}
        1&1&1\end {array}
    \right ] X = 
    \left [
	\begin {array}{ccc}1\\\noalign{\medskip}
	2\end {array}
    \right ]			              
$$       
 ki ima najmanj"so evklidsko normo.
Re"sitev:
\begin{eqnarray*}
     	x&=&[13/6, 2/3, -5/6]\\ 
     	J&=&[1, -2, 1]   
\end{eqnarray*}

 \item
   Poka"zite, da le"zi na intervalu $[0,2]$ natanko en koren ena"cbe
   $$
      x^2e^{-x}-1/3=0;     
   $$
   Koren "zelimo dolo"citi z metodo
   bisekcije tako, da bo napaka $\|x-x_n\|$ za gotovo manj"sa od $10^{-3}$. 
   Najmanj koliko korakov iteracije je potrebnih? 
   Dolo"ci "se koren na dve decimalni mesti natan"cno. 
\begin{eqnarray*}
    	n>10&&\\   I&=&[0.9082, 0.9102]\\  x&=&0.91 
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{document}
