\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 29. junij 2004 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}
 \item Sestavite formulo za pribli"zno ra"cunanje singularnih integralov oblike 
    $$ \int_{0}^1\frac{f(x)\,dx}{\sqrt{x}}\approx a_1f(x_1)+a_2f(x_2)$$
    Dolo"cite koeficienta, $a_1$ in $a_2$ ter vozli"s"ci 
    $x_1$ in $x_2$ tako, da bo 
    formula to"cna za polinome 
	$p_0(x)=1$, $p_1(x)=x$, 
	$p_2(x)=x^2$ in $p_3(x)=x^3$. 
    S pomo"cjo dobljene formule dolo"ci pribli"zno vrednost za integral  
    $$
	\int_{0}^1\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx
    $$

{\small
Pomo"c: koeficienta $a_i$, $i=1,2$ lahko pi"semo $a_i=1\pm b$,\\  
medtem ko za vozli"s"ci $x_i$, $i=1,2$ velja $x_i=\frac{3}{7}\mp y$  
}

Re"sitev:
\begin{eqnarray*}
    	a_1&=&1+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{5}{6}}\\
	a_2&=&1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{5}{6}}\\
    	x_1&=&\frac{7}{3}-\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}\\
	x_2&=&\frac{7}{3}+\frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}\\
        0.620331 && priblizna\\ 
    	0.620537 && tocna 
\end{eqnarray*}
 \item 
   Poi"s"ci $X$, tako da bo imela razlika $A\,X-B$ minimalno 
   evklidsko normo.  
$$
    A=\left [
        \begin {array}{ccc} 
	1&2\\\noalign{\medskip}
	1&3\\\noalign{\medskip}
        1&1\end {array}
    \right ] \quad B= 
    \left [
	\begin {array}{ccc}
		1\\\noalign{\medskip}
		1\\\noalign{\medskip}
		2
	\end {array}
    \right ]			              
$$       
Re"sitev:
\begin{eqnarray*}
     	X&=&[7/3,-1/2]\\ 
\end{eqnarray*}
 \item
   Na intervalu $[0,2]$ le"zita dva korena ena"cbe
   $$
      \sqrt{x}e^{-x}-\frac{1}{3}=0     
   $$
   Poi"s"ci oba korena. Dolo"ci, katerega od njiju lahko poi"s"cemo s 
   pomo"cjo naslednje iteracijske sheme 
   $$
	x_{n+1}=\sqrt{x_n}e^{-x_n}-\frac{1}{3}+x_n
   $$
   pri izbiri primernega za"cetnega pribli"zka.  
   Dolo"ci maksimalni podinterval intervala $[0,2]$ 
   iz katerega lahko izbiramo za"cetni 
   pribli"zek tako, da bo gornja shema konvergirala. 
   Zakaj drugega korena ne moremo poiskati na na ta na"cin?
%Re"sitev
\begin{eqnarray*}
x_1&=&0.149978\quad odbojna\\
x_2&=&1.18237\quad privlacna
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{document}
