\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 5. september 2007 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}
\item Ali lahko re"simo sistem $Ax=b$ z Gauss-Seidlovo iteracijo?   
	$$ 
   	A=\left [
        	\begin {array}{ccc}
         	4& 2& 1\\
		1& 3& -1\\
		1& -1& -3\\
		\end {array}
    	\right ] \quad b= 
    	\left [
        	\begin {array}{c}
                	3\\
			-3\\
			-1
        	\end {array}
    	\right ]
	$$
Izra"cunaj prvi korak Jacobijeve in Gauss-Seidlove iteracije.
Za"cetni pribli"zek je enak $x_0=[0;0;0]$. 
Kolika je prva norma razlike posameznega pribli"zka in to"cne re"sitve.

{\bf Re"sitev}: \\ 
$x_\infty=[1,-1,1]$, 
$x_J=[0.75,-1,0.33]$, $x_{GS}=[0.75,-1.25,1]$.
%

\item Poka"zite, da le"zi na intervalu $[0,2]$ natanko en koren ena"cbe
   $$
      x^2e^{-x}-1/3=0.     
   $$
   Poi"s"ci ta koren z Newtonovo metodo.

{\bf Re"sitev}: x=0.910008
%

\item Re"si integral z Gaussovo kvadraturno formulo in primerjaj rezultat s
to"cno re"sitvijo. 
$$
	\int_{0}^1\exp(-x)\sin(x)\,dx
$$
{\small

	Navodilo Gauss:  $\int_{0}^1 f(x)\, dx \approx w f(u)+w f(1-u)$
}
\\{\bf Re"sitev}:\\ 
To"cna: {\tt 1/(2e)(e-Cos[1]-Sin[1])=0.245837},\\ 
Gauss: {\tt w=1/2,  u=1/2(1-1/Sqrt[3]) I=0.246096}

\end{enumerate}
\end{document}
