\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 19. september 2008 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}
 \item Re"si robni problem
	$$y''(x)=-x,\quad y(0)=0,\quad y(1)=1$$ 
  	tako, da razdeli"s interval $[0,1]$ na stiri podintervale in v notranjih kraji"s"cih zapi"se"s pogoj 
        $$\frac{y_{i-1}-2\,y_i+y_{i+1}}{h^2}=-x_i$$ 
	Gornji sistem linearnih ena"cb re"si s pomo"cjo Gaussove eliminacije z delim pivotiranjem. 
	Poi"s"ci to"cno re"sitev.\\

{\bf\small Re"sitev: \\
$$\omega=2,\quad \xi=\frac13$$
Pribli"zna vrednst je $I\approx2.2222$, to"cna vrednost je $I=2.4$
}

\item Sestavite formulo za pribli"zno ra"cunanje integralov oblike:
	$$\int_0^{1} \frac{f(x)\,dx}{\sqrt{x}}\approx \omega f(\xi) $$ 
  	kjer je $0 \le \xi \le 1$. Formula naj bo to"cna za konstanto in 
 	polinom prve stopnje. Po gornji formuli izra"cunaj pribli"zno vrednost integrala:
        $$\int_0^{1} \frac{(1+x^2)\,dx}{\sqrt{x}}$$ in jo primerjaj s to"cno vrednostjo.\\  

{\bf\small Re"sitev:\\
Pribli"zne vrednost: $y\approx[0,0.218938,0.4375,0.695313,1]$\\
To"cne vrednosti: $y=[0,0.289063,0.5625,0.804688,1]$\\
To"cna re"sitev $y=\frac16(7x-x^3)$
}

\item Zapi"si iteracijsko shemo Newtonove metode za re"sevanje sistema nelinearnih ena"cb:
	$$x^2+y^3=1,\quad  (x-1)^2+y^2=1$$
        Naredi en korak metode, "ce je za"cetni pribli"zek $[x,y]=[1,1]$.\\
{\bf\small Resitev: 
$$J=[2 (-1 + x), 2 x;2 y, 3 y^2],\quad [x_1,y_1]=[\frac12,1]$$
}
\end{enumerate}
\end{document}

