\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 17. marec 2009 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}
 \item Re"si robni problem
	$$y''(x)=-x,\quad y(0)=0,\quad y(1)=1$$ 
  	tako, da razdeli"s interval $[0,1]$ na tri podintervale in v notranjih kraji"s"cih zapi"se"s pogoj 
        $$\frac{y_{i-1}-2\,y_i+y_{i+1}}{h^2}=-x_i$$ 
	Ali se lahko gornji linearni sistem ena"cb re"suje s pomo"cjo Jacobijeve iteracije. 
%
%


\item Poi"s"ci pribli"zno re"sitev diferencialne ena"cbe $$y'(x)=-y(x),\quad y(0)=1$$ v to"cki $h$, "ce uporabi"s za re"sevanje 
	naslednjo metodo. 
$$
	y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}\,(f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})).
$$       

To"cna re"sitev je $y(x)=e^{-x}$. Njena limita ko gre $x$ v neskon"cnost je enaka 0. Kak"sen sme biti korak $h$, da ima to lastnost 
tudi pribli"zna re"sitev.  

%

\item Zapi"si iteracijsko shemo Newtonove metode za re"sevanje sistema nelinearnih ena"cb:
	$$x^2+y^2=4,\quad  x+y^3=\frac{1}{2}$$
        Naredi dva koraka metode, "ce je za"cetni pribli"zek $[x,y]=[3/2,-1]$.
\end{enumerate}
\end{document}

%Resitev 
%{x_2,y_2}={1.69523, -1.06129}


