\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 3. julij 2009 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}
\item Re"si numeri"cno diferencialno ena"cbo
$$
    y'=-x\,y, \quad y(0)=1
$$
na dva na"cina.\\
\begin{enumerate}
\item Eulerjeva metoda: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$
\item Metoda srednje vrednosti: $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}))$
\end{enumerate}
Vzemi korak $h=0.5$ naredi 3 korake po prvi in drugi metodi.
Rezultate, ki jih dobi"s primerjaj s to"cno re"sitvijo. Katera metoda
je bolj"sa?\\
Re"sitev:\\
Prva	{1, 1, 0.75, 0.375, 0.09375, 0.}\\
Druga	{1, 0.888889, 0.622222, 0.339394, 0.141414, 0.043512}\\
Tocna	{1, 0.882497, 0.606531, 0.324652, 0.135335, 0.0439369}\\
\item
   Re"si sistem v smislu najmanj"sih kvadratov ($\|A\,X-B\|_2$ je minimalna).
$$
    A=\left [
        \begin {array}{ccc}
        1&2\\\noalign{\medskip}
        1&3\\\noalign{\medskip}
        1&1\end {array}
    \right ] \quad B=
    \left [
        \begin {array}{ccc}
                1\\\noalign{\medskip}
                1\\\noalign{\medskip}
                2
        \end {array}
    \right ]
$$
Re"sitev: X=[7/3,-1/2]


\item Sestavite formulo za pribli"zno ra"cunanje integralov oblike:
	$$\int_0^{1} \frac{f(x)\,dx}{\sqrt{x}}\approx \omega f(\xi) $$ 
  	kjer je $0 \le \xi \le 1$. Formula naj bo to"cna za konstanto in 
 	polinom prve stopnje. Po gornji formuli izra"cunaj pribli"zno vrednost integrala:
        $$\int_0^{1} \frac{(1+x^2)\,dx}{\sqrt{x}}$$ in jo primerjaj s to"cno vrednostjo.\\  

Re"sitev:\\
Pribli"zne vrednost: 2.22222\\
To"cne vrednosti: 12/5\\ 

\end{enumerate}
\end{document}

