\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 24. september 2009 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}


\item Zapi"si tri korake sekantne metode za re"sevanje ena"cbe $f(x)=0$, kjer je
$$
    f(x)=x+(x^3+3)/2.
$$
Izberi za"cetne vrednosti $x_0=-3.0$ $x_1=-2.0$.

\textit{Re"sitev:} Pri sekantni metodi je iteracija:
$$
    x_{n+1}=x_{n}-f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
$$
Po treh korakih metode je $x_4=-0.888$.

\item Izra"cunaj neskon"cno in prvo normo matrike
$$
    A =
    \left[
    \begin{array}{ccc}
    1 & 2 & -1 \\
    0 & 3 & -1 \\
    5 & -1 & 1
    \end{array}
    \right].
$$

\textit{Re"sitev:} Neskon"cna norma matrike $A$, $\|A\|_{\infty}$, je maksimalna vrsti"cna vsota absolutnih vrednosti:
$$
    \|A\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|
$$
Torej v na"sem primeru: $\|A\|_{\infty} = \max{\{4, 4, 7\}} = 7$. \\
Prva norma matrike $A$, $\|A\|_1$, je maksimalna stolpi"cna vsota absolutnih vrednosti:
$$
    \|A\|_1 = \max_{1 \le j \le n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|
$$
Torej v na"sem primeru: $\|A\|_1 = \max{\{6, 6, 3\}} = 6$.

\item Dolo"ci ute"zi formule za numeri"cno odvajanje, oblike:
$$
    f'(x)=w_1f(x-2h)+w_2f(x-h)+w_3f(x)
$$
tako, da bo to"cna za polinome stopnje manj"se ali enake 2.

\textit{Re"sitev:} Zapi"simo sistem ena"cb, kjer vstavimo
$f(x)=\{1,\ x,\ x^2\}$.
\begin{eqnarray*}
    0&=&w_1+w_2+w_3\\
    1&=&w_1(x-2h)+w_2(x-h)+w_3x\\
    2x&=&w_1(x-2h)^2+w_2(x-h)^2+w_3x^2
\end{eqnarray*}
Re"sitev mora biti neodvisna od $x$. Vstavimo $x=0$ in dobimo sistem:
\begin{eqnarray*}
    0&=&w_1+w_2+w_3\\
    1&=&-2w_1h-w_2h\\
    0&=&w_14h^2+w_2h^2
\end{eqnarray*}
Od tod sledi, da je $w_1=\frac{1}{2h}$, $w_2=-\frac{2}{h}$ in
$w_3=\frac{3}{2h}$. Torej:
$$
    f'(x)\approx\frac{f(x-2h)-4f(x-h)+3f(x)}{2h}
$$


\end{enumerate}
\end{document}



