\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 2. februar 2012 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
\raggedright
\begin{enumerate}

\item Ena"cba 
$$
	x=f(x),\quad f(x)=x^2 e^{x}-1
$$
ima dve re"sitvi. S pomo"cjo Newtonove metode ju dolo"ci na dve 
decimalni mesti natana"cno.  
Ugotovi, katera je privla"cna in katera je odbojna to"cka za iteracijo 
$$
x_{n+1}=f(x_n).
$$
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Izpit1-1.pdf}
\end{center}
{\bf Re"sitev:} 
$$
x_1=0.882534,\ x_2=-0.739123,\quad f'(x_1)=6.14874,\ f'(x_2)=-0.445033
$$
\item Dolo"ci enostavno kvadraturno formulo oblike
$$
	\int_a^{a+h}f(x)\,dx\approx w f(\xi).
$$
Ute"z $w$ in vrednost $\xi\in[a,a+h]$ dolo"ci tako, da bo formula 
to"cna za $p_0(x)=1$ in $p_1(x)=x$.
S pomo"cjo sestavljene formule izra"cunaj integral
$$
		\int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\,dx.
$$
Interval $[0,1]$ razdeli"s na $n=4$ enake dele.\\ 
{\bf Re"sitev:}
$$
	I_h=0.950743,\quad \int_0^1\frac{\sin(x)}{x}\,dx=0.946083
$$
\item Dolo"ci katerega od linearnih sistemov ena"cb 
$A_i\,x=b$, $i=1,2$ lahko re"si"s
s pomo"cjo Jacobijeve iteracije. Vzemi za"cetni pribli"zek $x_0=[0;0]$ in 
zapi"si tretjo iteracijo $x_3$.
$$
	A_1=\begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix},\quad 
        A_2=\begin{bmatrix} 2&1\\3&1\end{bmatrix},\quad 
        b=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}
$$
{\bf Re"sitev:}
Prva Jacobijeva iteracijska matrika ima obe lastni vrednosti enaki 0,
druga pa ima lastni vrednosti enaki $\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$.
V prvem primeru je $x_0=[0,0]$, $x_1=[-1,2]$, ki pa je "ze to"cna re"sitev. 

\end{enumerate}
\end{document}

