\documentclass[11pt]{amsart}
\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{amsvega}
%\usepackage{hyperref}
%\pagestyle{empty}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} 
    \Large Izpit iz Numeri"cnih metod\vspace*{3mm} \\
    \normalsize 17. februar 2012 
\end{center}
\bigskip\medskip
\large
%\raggedright
\begin{enumerate}

\item Poi"s"ci to"cno re"sitev diferencialne ena"cbe. Glej pomo"c.\footnote{Pomo"c: 
ena"cba je z lo"cljivima spremenljivkama.}\\ 
$$
	\frac{dy}{dt}=-\sqrt{2}t\,y,\quad y(0)=1.
$$
Prepri"caj se, da je re"sitev definirana povsod, 
zavzame samo pozitivne vrednosti in te"zi k $0$, ko gre $t\to\infty$.
S pomo"cjo Eulerjeve metode s korakom $h=1/2$, poi"s"ci 
pribli"zno re"sitev te diferencialne ena"cbe. 
Re"sitev, ki jo dobimo ni stalno pozitivna.
Po katerem koraku, (za kateri $n$,) 
postane vrednost $y_n$ prvi"c negativna?\\[4mm]
 
 
\item Prepri"caj se, da je matrika   
$$
	A=\begin{bmatrix} 4&1\\1&1\end{bmatrix}
$$
pozitivno definitna in jo razcepi po Choleskyju.\\[2mm] 
\item Sestavi kvadraturno formulo za integrale oblike 
$$
	\int_0^\infty f(x) e^{-x}\,dx\approx w_1f(0)+w_2f(\xi)
$$
tako, da bo to"cna za $f(x)=p_n(x)=x^n$, $n=0,1,2$.\\ 
Glej pomo"c.\footnote{Pomo"c: $\displaystyle\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx=2$}
Izra"cunaj pribli"zno vrednost integralov:\\[2mm] 
\begin{enumerate}
	\item $I_1=\displaystyle\int_0^\infty \sqrt{x+1}\, e^{-x}\,dx$ in\\[2mm]
	\item $I_2=\displaystyle\int_0^\infty \sqrt{x}\, e^{-x}\,dx$.\\[2mm]
\end{enumerate}
To"cna vrednost prvega integrala je $I_1=1.37894$ 
medtem, ko je $I_2=0.886227$. Izra"cunaj relativno napako v obeh primerih.
Poizkusi razlo"ziti, zakaj je v prvem primeru napaka mnogo manj"sa, 
kot v drugem.  
\end{enumerate}
\end{document}

