\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[slovene]{babel}
\pagestyle{empty}\textwidth17cm
\oddsidemargin-8mm\evensidemargin-8mm

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsxtra}

\def\ee{\textrm{e}}
\def\dd{\textrm{d}}
\def\9{\vskip4ex}

\begin{document}

\Large \centerline{\textbf{IZPIT IZ NUMERI"CNIH METOD}}
\centerline{\textbf{22. januar 2014}}

\normalsize\9\9
\begin{enumerate}
  \9\item Dani sta dve to"cki v ravnini
    $$
      A(-2,1)\ \textrm{in} \ B(1,-1).
    $$
    Dolo"cite koeficienta $a_1$ in $a_2$ tako, 
    da bosta to"cki $A$ in $B$ le"zali na grafu funkcije  
    	$$f(x)=a_1 \ee^x+a_2\ee^{2x}.$$  
    Graf funkcije $f(x)$ seka abscisno os v natanko eni to"cki.
    S pomo"cjo Newtonove metode poi"s"ci pribli"zno vrednost abscise te to"cke
    na dve decimalni mesti nata"cno.   
    \\{\bf Re"sitev:} $f(x)=7.79549 \ee^x - 3.00313 \ee^{2 x}$, $x_0 = 0.953888$ 
  \9\item Dan je sistem $Ax = b$, kjer je
    $$
      A = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 4 & -5 \end{array} \right]
      \quad \textrm{in} \quad b = \left[ \begin{array}{c} -5 \\ 0 \end{array} \right].
    $$
    Ali Gauss-Seidlova iteracija konvergira? Odgovor utemeljite!\\
    Naredite tri korake Gauss-Seidlove iteracije
    z za"cetnim pribli"zkom $x_0 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]$.
    \\{\bf Re"sitev:} Lastni vrednosti iteracijske matrike 
    {\tt S=tril(A)$\hat{ }$(-1)*triu(A,1)} sta  $-4/5$ in $0$. 
    Obe sta absolutno manj kot 1 torej iteracija konvergira. 
    Tretji korak je {\tt [61/5, 244/25]}. To"cna re"sitev je {\tt [25,20]}. 
  \9\item Dolo"cite ute"zi $\omega_1$, $\omega_2$ in parameter $h$ kvadraturne formule
    $$
    \int_0^1 f(x)\, \dd x \approx \omega_1 f(\textstyle{\frac{1}{2}}-h) + \omega_2 f(\textstyle{\frac{1}{2}}+h),
    $$
    da bo formula to"cna za $f(x) = 1, x$, in $x^2$. Uporabi dobljeno formulo za izra"cun pribli"zne 
    vrednosti integrala in jo primerjaj s to"cno vrednostjo.    
    $$
    I=\int_0^1 \ee^{\sqrt{x}}\, \dd x.
    $$
    Ugotovi ali formula to"cno izra"cuna tudi integrale, kjer je funkcija $f(x)$  polinom tretje stopnje.
    \\{\bf Re"sitev} Po formuli je $I\approx2.00702$ to"cna vrednost $I=2$. 
    Ute"zi $w1=w2=1/2$ in $h=1/(2\sqrt{3})$. Formula je to"cna tudi za polinome tretje stopnje.
\end{enumerate}

\end{document}
