\documentclass{beamer}
\usepackage{multimedia}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}
\mode<presentation>
\usepackage{color}
{
  \usetheme{default}
  \setbeamercovered{transparent}
}

%\useoutertheme{shadow}
%\usecolortheme{crane}

\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{times}
%usepackage[T1]{fontenc}
\newtheorem{primer}[theorem]{Primer} 
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\definecolor{darkblue}{rgb}{0.0,0.0,0.6}
%\definecolor{mybrown}{rgb}{0.3,0.5,0.0}
\definecolor{mybrown}{rgb}{0.0,0.5,0.3}
\definecolor{mygrey}{rgb}{0.4,0.3,0.3}
%\usefonttheme{structuresmallcapsserif}
\newcommand\formulas[1]{\textcolor{darkblue}{#1}}
\newcommand\ttxt[1]{\textcolor{mybrown}{#1}}
\setbeamercolor{normal text}{fg=mygrey} 



\title[Matematika 1]{Matematika 1}
\subtitle{1. vaja}

\author[Borut] % 
{B.~Jur\v{c}i\v{c}~Zlobec\inst{1}}

\institute[Univerza v Ljubljani Slovenia] % 
{
  \inst{1}%
    Univerza v Ljubljani,\\Fakulteta za Elektrotehniko\\ 
    1000 Ljubljana, Tr\v{z}a\v{s}ka 25, Slovenija
}


\date[\today] % 
{Matematika 1 FE, Ljubljana, Slovenija \today}

\subject{Matematika}


%\AtBeginSubsection[]
%{
%  \begin{frame}<beamer>{Vsebina}
%    \tableofcontents[currentsection]
%  \end{frame}
%}


\begin{document}

\begin{frame}
 \titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{}
%  \tableofcontents
%\end{frame}


\section{\v{S}tevilske mno\v{z}ice}

\subsection{Realna \v{s}tevila}

\begin{frame}{Absolutna vrednost in kvadratni koren}
  \begin{itemize}
  \item Absolutna vrednost.
	$$
	|x|= 	\begin{cases}
                	-x, x<0\\
                	x, x\ge 0
        	\end{cases}
	$$
  \item Kvadratni koren $y=\sqrt{x}$ je definiran za 
	nenegativne vrednosti in zavzame nenegativne vrednosti.
  \item Kvadratni koren je strogo nara"s"cajo"ca funkcija.
  \item Velja $\displaystyle{\sqrt{x^2}=|x|}$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Intervali in poltraki}
Vzemimo, da sta $a$ in $b$ dve realni "stevili, za kateri velja $a<b$. 
  \begin{itemize}
	\item Odprt interval $(a,b)=\{x,a<x<b\}$.
	\item Zaprt interval  $[a,b]=\{x,a\le x\le b\}$.
	\item Polodprt interval oziroma polzaprt interval $[a,b)$ in $(a,b]$.
	\item Desni odprt in zaprt poltrak $(a,\infty)=\{x, x>a\}$ in $[a,\infty)=\{x,x\ge a\}$.
        \item Levi odprt in zaprt  poltrak $(-\infty,a)$ in $(-\infty,a]$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Linearne neena"cbe z eno neznanko}
\begin{frame}{Splo"sno}
\begin{itemize}
  \item  Linearno neena"cbo z eno neznanko lahko vedno prevedemo na obliko $ax<b$ ali $ax\le b$.
  \item  Ko mno"zimo z negativno vrednostjo se smer neena"caja obrne. 
  \item  Mno"zica re"sitev le"zi na poltraku:
	$$
           \begin{cases}
                  x>\frac{b}{a}, a<0\\
                  x<\frac{b}{a}, a>0
           \end{cases}
\quad \text{oziroma}\quad 
           \begin{cases}
                  x\ge\frac{b}{a}, a<0\\
                  x\le\frac{b}{a}, a>0
           \end{cases}
	$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, 6x-1>2x+3\}$}
\begin{itemize}
	\item Neena"cba: $6x-1>2x+3$.
	\item Od"stejemo $2x$ in pri"stejemo $1$ na obeh straneh $6x-2x<3+1$.
	\item Dobimo $4x>4$. 
	\item Delimo s $4$ in dobimo $x>1$.
	\item Re"sitev $X=(1,\infty)$. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, 2x+3\le 3x+4\}$}
\begin{itemize}
        \item Neena"cba: $2x+3\le 3x+4$.
        \item Od"stejemo $3x$ in $3$ na obeh straneh $2x-3x\le 4-3$.
        \item Dobimo $-x\le 1$.
        \item Delimo z $-1$ obrnemo smer neena"caja $x\ge -1$.
        \item Re"sitev $X=[-1,\infty)$.
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, 2x+3\le 3x+4 < x+7\}$}
\begin{itemize}
        \item Sistem neena"cb $2x+3\le 3x+4 \wedge 3x+4 < x+7$.
        \item Poenostavimo $ -x \le 1 \wedge 2x <3 $.
        \item Dobimo $[-1,\infty) \cap (-\infty,\frac{3}{2})$.
        \item Re"sitev $X=[-1,\frac{3}{2})$.
\end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Kvadratne neena\v{c}be z eno neznanko}

\begin{frame}{Splo\v{s}no}
\begin{itemize}
	\item  Kvadratne neena"cbe z eno neznanko lahko prevedemo na obliko 
		$ax^2+bx+c>0$, oziroma $ax^2+bx+c\ge 0$.  
	\item  Primer ko je diskriminanta negativna, $b^2-4ac<0$.
		\begin{itemize}
			\item  "Ce je $a>0$, neena"cbo jo re"si vsako realno "stevilo, 
			$(-\infty,\infty)$
			\item  "Ce je $a<0$, neena"cba nima re"sitev, $\emptyset$. 
		\end{itemize}
        \item  Primer ko je diskriminanta pozitivna $b^2-4ac>0$.
		Ena"cba $ax^2+bx+c=0$ ima dve re"sitvi $x_1<x_2$. 
		V primeru strogega ena"caja dobimo:
		\begin{itemize}
                        \item  "Ce je $a>0$, re"sitve le"zijo na
				$(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)$.
                        \item  "Ce je $a<0$, re"sitve le"zijo na  $(x_1,x_2)$.
                \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Mno\v{z}ica:  $X=\{x, x+\frac{1}{x}\le 2\}$}
\begin{itemize}
        \item Ni"c ni element mno"zice, $x\ne 0$. 
	\item Za $x<0$ je 
		$$ x^2+1\ge2x\rightarrow x^2-2x+1\ge 0\rightarrow x\in
(-\infty,0).$$
	\item Za $x>0$ je 
		$$ x^2+1\le2x\rightarrow x^2-2x+1\le 0\rightarrow x\in
	\{1\}.$$
	\item Re"sitev $X=(-\infty,0)\cup\{1\}$.
\end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Ena\v{c}be in neena\v{c}be z absolutnimi vrednostmi}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, x+|x+1|=3\}$}
\begin{itemize}
		\item $x+1<0\rightarrow x<-1\rightarrow(-\infty,-1)$, $$x-(x+1)=3,\quad -1=3,\rightarrow \emptyset$$
		\item $x+1\ge0\rightarrow x\ge-1\rightarrow[-1,\infty)$, $$x+(x+1)=3,\quad 2x=2,
			\rightarrow \{1\}$$
		\item Re"sitev $X=\emptyset\cup\{1\}$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica:  $X=\{x, x+|1-x|=0\}$}
\begin{itemize}
                \item $1-x<0\rightarrow -x<-1\rightarrow(1,\infty)$, 
		$$x-(1-x)=0,\quad 2x=1,\rightarrow \{\frac{1}{2}\}$$
                \item $1-x\ge0\rightarrow x\le1\rightarrow
			(-\infty,1]$, $$x+(1-x)=0,\quad 1=0,
                        \rightarrow \emptyset$$
                \item Re"sitev $X=\emptyset$,\\
		$\left((1,\infty)\cap\{\frac{1}{2}\}\right) \cup 
		\left((-\infty,1]\cap \emptyset\right)$
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, |x+1|+|x-1|=2\}$}
\begin{itemize}
	\item $x\in (-\infty,-1)$, 
		$-(x+1)-(x-1)=2, \quad -2x=2,\rightarrow \{-1\}$
	\item $x\in [-1,1]$, 
		$(x+1)-(x-1)=2,\quad 2=2,\rightarrow (-\infty,\infty)$
	\item $x\in (1,\infty)$, 
		$2x=2,\quad x=1,\rightarrow \{1\}$
	\item Re"sitev $X=[-1,1]$,  
		$\left(\{-1\}\cap (-\infty,-1)\right)\cup\left([-1,1]
		\cap(-\infty,\infty)\right)\cup\left((1,\infty)\cap\{1\}\right)$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $\{x, |2-x|<2|x|+3\}$}
	\begin{itemize}
        \item $x\in(-\infty,0),\quad$
                $2-x<-2x+3, \quad x<1,\rightarrow (-\infty,0)$,
        \item $x\in[0,2],\quad$
                $2-x<2x+3,\quad x>-\frac{1}{3},\rightarrow [0,2]$,
        \item $x\in (2,\infty),\quad$
                $-2+x<2x+3,\quad x>-5,\rightarrow (2,\infty)$,
        \item Re"sitev $X=(-\infty,0)\cup[0,2]\cup(2,\infty)=(-\infty,\infty)$,
	\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{|x^3-x^2|<|x^2+x|\}$}
\begin{itemize}
	\item Za $x\ne 0$ delimo z $|x|$, $|x^2-x|<|x+1|$.
	\item $x\in (-\infty,-1)$, $x^2-x<-x-1\rightarrow x^2<1\rightarrow (-1,1)$,
	\item $x\in [-1,0)$, $x^2-2x-1<0\rightarrow (1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$, 
	\item $x\in (0,1)$, $-x^2+x<x+1\rightarrow -x^2<1\rightarrow (-\infty,\infty)$,
	\item $x\in [1,\infty)$, $x^2-2x-1<0\rightarrow (1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$,
	\item Re"sitev $X=(1-\sqrt{2},0)\cup(0,1+\sqrt{2})$.
\end{itemize}
\end{frame}


\subsubsection{Ena"cbe in neena"cbe s koreni}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, -\sqrt{x+1}>3\}$}
        \begin{itemize}
        \item S kvadriranjem neena"cbe bi dobili napa"cen rezultat.
	\item $x+1>9$, $x\in(8,\infty)$.
        \item Ker je leva stran negativna neena"cba nima re"sitev.
	\item Re"sitev je prazna mno"zica, $X=\emptyset$. 
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, \sqrt{x+1}<2\}$}
        \begin{itemize}
        \item S kvadriranjem neena"cbe bi dobili napa"cen rezultat.
	\item $x+1<4$, $x\in(-\infty,3)$.
        \item Izraz pod korenom negativen za $x<-1$.
	\item Re"sitev je potemtakem mno"zica, $X=[-1,3)$. 
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, \sqrt{x}+\sqrt{x+1}>3\}$}
        \begin{itemize}
        \item Neena"cba je definirana samo za $x\ge0$. Obe strani sta pozitivni, kvadriramo:\\
                $2\sqrt{x(x+1)}>8-2x\rightarrow\sqrt{x(x+1)}>4-x$ 
	\item "Ce je desna stran negativna je neena"cba izpolnjena, je $x>4$ del re"sitve, 
        \item v nasprotnem primeru pa sta obe strani pozitivni, kvadriramo:\\
		$x^2+x>16-8x+x^2\rightarrow x>\frac{16}{9}$
	\item Re"sitev $X=(\frac{16}{9},\infty)$,\\
		$(0,\infty)\cap\left((4,\infty)\cup([-\infty,4]\cap(\frac{16}{9},\infty))\right)$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica:  $X=\{x, \sqrt{19-x}-\sqrt{x+1}>2\}$}
        \begin{itemize}
        \item Neena"cba je definirana samo za $x\in[-1,19]$. 
        \item "Ce je leva stran negativna neena"cba ni izpolnjena, torej se re"sitev se nahaja na
		 $\{x, \sqrt{19-x}>\sqrt{x+1}\}=(-\infty,9)$.
        \item Na tem intervalu sta obe strani ena"cbe pozitivni, kvadriramo:\\
                $\sqrt{(19-x)(x+1)}<8,\rightarrow x^2-18x+45>0\rightarrow (-\infty,3)\cup(15,\infty)$
        \item Re"sitev $X=[-1,3)$,\\ 
		$[-1,19]\cap(-\infty,9)\cap\left((-\infty,3)\cup(15,\infty)\right)$
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mno\v{z}ica: $X=\{x, \sqrt{5x+1}-\sqrt{2x+3}=\sqrt{7x-20}\}$}
        \begin{itemize}
        \item Neena"cba je definirana samo za pozitivne vrednosti pod koreni:\\ 
	$x\in[-\frac{-1}{5},\infty)\cap[-\frac{3}{3},\infty)\cap[\frac{20}{7},\infty)=[\frac{20}{7},\infty)$.
        \item Kvadriramo lahko le v primeru, "ce sta obe strani ena"cbe enakega znaka:
                 $\sqrt{5x+1}>\sqrt{2x+3}\rightarrow 5x+1\ge2x+3\rightarrow x\in[\frac{2}{3},\infty)$.
        \item Kvadriramo in dobimo ena"cbo $10x^2+17x-141=0$. Ta ima dve re"sitvi $x\in \{-4.7,3\}$.
        \item Re"sitev $X=\{3\}=\{-4.7,3\}\cap[\frac{20}{7},\infty)$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Linearne neena"cbe z dvema neznankama}
\begin{frame}{Grafi\v{c}no predo\v{c}i mno"zico}
$
\{(x,y), x - 2 y + 4 \ge 0 \wedge 2 x + 3 y + 6 \ge 0 \wedge y + 2 \ge 0 \wedge 
 y + x-5 \le 0\}
$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.66]{mat-1-prva.pdf}
\end{center}
\end{frame}
\subsection{Naravna "stevila in matemati"cna indukcija}
\begin{frame}{Vsote}
	\begin{itemize}
		\item Doka"zi, da formula $a_1+a_2+\cdots+a_n=f(n)$ velja za vsa naravna "stevila $n$.
		\item Poka"zimo za $n=1$: $a_1=f(1)$.
		\item "Ce velja za $n$ poka"zimo, da velja za $n+1$.
		\item $a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}=f(n+1)\rightarrow f(n)+a_{n+1}=f(n+1)$.
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Doka\v{z}i, da velja}
	\begin{itemize}
		\item $1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n=\frac{1}{4}\left(1+(-1)^{n-1}(2n+1)\right)$.
		\item Za $n=1$ dobimo: $1=\frac{1}{4}(1+2+1)$.
		\item Pokazati moramo "se enakost:
		\item $\frac{1}{4}\left(1+(-1)^{n-1}(2n+1)\right)+(-1)^n(n+1)=\frac{1}{4}\left(1+(-1)^{n}(2n+3)\right)$.
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Doka"zi, da velja}
	\begin{itemize}
		\item $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\sqrt{n}$
		\item Za $n=1$ dobimo:  $\frac{1}{\sqrt{1}}\ge\sqrt{1}$.
		\item "Ce $n$ potem $n+1$. $\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge\sqrt{n+1}$
		\item $\sqrt{n(n+1)}+1\ge n+1\rightarrow\sqrt{n^2+1}\ge n$.
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Vsota kubov 3 zaporednih naravnih \v{s}tevil je deljiva z 9}
	\begin{itemize}
		\item $9|\left(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\right)$
		\item Za $n=1$ velja $9|1+8+27$.
		\item Pokazati moramo "se, da je razlika\\ 
		$\left((n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3\right)-\left(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\right)$\\
		deljiva s 9 za poljubno naravno "stevilo $n$.
		\item Razlika je $27 + 27 n + 9 n^2$ je deljiva z 9. 
                \item Drugi "clen v razliki je po indukcijski predpostavki deljiv z 9, 
		potem je tudi "clen prvi "clen deljiv z 9. 
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Doka"zi, da je $n<2^n$}
	\begin{itemize}
		\item "Ce $n=1$, dobimo $1<2$. 
		\item "Ce $n<2^n$ potem $n+1<2^{n+1}\rightarrow n+1<2\,2^n\rightarrow n+1<2^n+2^n$.
		\item Na levi je dodano 1 na desni pa $2^n$, 
		ker je po indukcijski predpostavki $1<2^n$, 
		ostane neenakost izpolnjena.  
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Doka"zi, da je izraz $11^{n+1}+12^{2n-1}$}
deljiv z $133$ za vsako naravno "stevilo $n$
	\begin{itemize}
		\item "Ce $n=1$, dobimo $11^2+12=133$. 
		\item Poka"zimo, da iz indukcijske predpostavke sledi, 
		da je izraz $11^{n+2}+12^{2n+1}$ deljiv z $133$. 
		\item Gornji izraz lahko preuredimo takole:
		\begin{eqnarray*}		
			&&11^{n+2}+12^{2n+1}=11\,11^{n+1}+144\,12^{2n-1}=\\
			&&=11\left(11^{n+1}+12^{2n-1}\right)+133\,12^{2n-1}
		\end{eqnarray*}
		\item Izraz v oklepaju je po indukcijski predpostavki deljiv s $133$.
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Doka"zi, da "stevila $\sqrt{2}$ ne moremo zapisati kot razmerje dveh naravnih "stevil.}
	\begin{itemize}
		\item Dokaz s protislovjem. Vzemimo, da je $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, kjer 
		sta naravni "stevili $m$ in $n$ tuji, nimata skupnega faktorja. 
		\item Potem je $2=\frac{m^2}{n^2}\rightarrow 2n^2=m^2$.
		\item Od tod sledi, da je "stevilo $m^2$ sodo. 
		\item Ker je samo kvadrat sodega "stevila sodo, potem mora
		biti "stevilo $m^2$ deljivo s $4$. 
		\item Torej ga zapi"semo kot $m^2=4k\rightarrow2n^2=4k\rightarrow n^2=2k$.
		\item Od tod sledi, da bi moralo biti tudi "stevilo $n^2$ sodo, 
		\item to pa je v nasprotju s predpostavko, da sta $m$ in $n$ tuji.     
	\end{itemize}	
\end{frame}

\begin{frame}{Doka"zi, da je pra"stevil neskon"cno mnogo.}
	\begin{itemize}	
		\item Vzemimo, da je pra"stevil kon"cno mnogo, $p_1, p_2,\dots,p_n$.
		\item Poglejmo "stevilo $m=p_1 p_2 \dots p_n+1$.
		\item "Ce je "stevilo $m$ pra"stevilo, smo pri"sli do protislovja.
		"Stevilo $m$ je ve"cje od pra"stevil $p_1, p_2,\dots,p_n$.
		\item Torej "stevilo $m$ ni pra"stevilo, od tod sledi, da ga lahko zapi"semo
		v obliki produkta pra"stevil. 
		\item V produktu ni nobenega od pra"stevil $p_1, p_2,\dots,p_n$,
		ostanek pri deljenju je 1. 
		\item Torej mora obstajati vsaj eno pra"stevilo, ki ni enako "stevilom
		$p_1, p_2,\dots,p_n$. 
		\item Spet pridemo v nasprotje s trditvijo, da so 
		$p_1, p_2,\dots,p_n$ vsa pra"stevila. 
	\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

