\documentclass{beamer}
\usepackage{multimedia}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{color}
\mode<presentation>
{
  \usetheme{default}
  \setbeamercovered{transparent}
}

%\useoutertheme{shadow}
%\usecolortheme{crane}

\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{times}
%usepackage[T1]{fontenc}
\newtheorem{primer}[theorem]{Primer} 
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}


\definecolor{darkblue}{rgb}{0.0,0.0,0.6}
\definecolor{mybrawn}{rgb}{0.3,0.5,0.0}
\definecolor{mygrey}{rgb}{0.4,0.3,0.3}
%\usefonttheme{structuresmallcapsserif}
\newcommand\formulas[1]{\textcolor{darkblue}{#1}}
\newcommand\ttxt[1]{\textcolor{mybrawn}{#1}}
\setbeamercolor{normal text}{fg=mygrey} 


\title[Matematika 1]
{Matematika 1}

\subtitle{4. vaja}

\author[Borut] % 
{B.~Jur\v{c}i\v{c}~Zlobec\inst{1}}

\institute[Univerza v Ljubljani Slovenia] % 
{
  \inst{1}%
    Univerza v Ljubljani,\\Fakulteta za Elektrotehniko\\ 
    1000 Ljubljana, Tr\v{z}a\v{s}ka 25, Slovenija
}


\date[\today] % 
{Matematika 1 FE, Ljubljana, Slovenija \today}

\subject{Matematika}


%\AtBeginSubsection[]
%{
%  \begin{frame}<beamer>{Vsebina}
%    \tableofcontents[currentsection]
%  \end{frame}
%}


\begin{document}

\begin{frame}
 \titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

\section{Funkcije}
\subsection{Definicijsko obmo"cje in zaloga vrednosti}
\subsubsection{Dolo"ci definicijsko obmo"cje in zalogo vrednosti}
\begin{frame}{Definicijsko obmo"cje in zaloga vrednosti funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=1-|x|}$}.
	\begin{itemize}
		\item Funkcija je definirana za vsak $x\in\mathbb{R}$.
		\item $\displaystyle{\mathcal{D}_f=\mathbb{R}}$.
		\item Funkcija je odsekoma linearna in soda, ekstrem 
		ima v $0$. 
		\item $\displaystyle{\mathcal{R}_f=(-\infty,1]}$.
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Definicijsko obmo"cje in zaloga vrednosti funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=1-x^2}$}
        \begin{itemize}
		\item Funkcija je definirana za vsak $x\in\mathbb{R}$,
                \item $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$.
		\item Funkcija je kvadratna, ekstrem ima v to"cki $0$,	
			kjer zavzame vrednost 1. 
		\item $\mathcal{R}_f=(-\infty,1]$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definicijsko obmo"cje in zaloga vrednosti funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\sqrt{1-x^2}}$}
        \begin{itemize}
		\item Funkcija je definirana povsod tam, kjer je 
			$1-x^2\ge0$.
                \item $\mathcal{D}_f=[-1,1]$.
		\item Podobno kot funkcija $f(x)=1-x^2$ zavzame 
			ekstrem (maksimum) v to"cki $0$.  
		\item $\mathcal{R}_f=[0,1]$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Definicijsko obmo"cje in zaloga vrednosti funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\frac{|x|}{1+|x|}}$}
        \begin{itemize}
		\item $f(x)=\begin{cases}
                                        \frac{-x}{1-x}, x<0\\
                                        \frac{x}{1+x},  0\le x\\
                                \end{cases}$
		\item $\lim_{x\to\infty}f(x)=1$.
		\item Soda funkcija definirana za vse $x$,
                $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$. 
		\item Velja $0\le \frac{|x|}{1+|x|} < 1$,
		\item $\mathcal{R}_f=[0,1)$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=\frac{|x|}{1+|x|}$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.75]{func-10.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Definicijsko obmo"cje in zaloga vrednosti funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$}
        \begin{itemize}
		\item Funkcija je liha omejena in definirana za vsak realen $x$. 
                \item $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$. 
                \item  Zaloga vrednosti je med $[-a,a]$, 
			kjer je $a$ pozitivna vrednost za katero 
			ima kvadratna ena"cba $\frac{2x}{1+x^2}=a$ 
			dvojno ni"clo.
		\item $-ax^2+2x-a=0$. Diskriminanta je enaka 0. 
			$4-4a^2=0$, od tod je iskani $a=1$, 
		\item $\mathcal{R}_f=[-1,1]$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$}
\begin{center}
        \includegraphics[scale=0.75]{func-11.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\subsubsection{Surjektivnost, injektivnost in bijektivnost} 
\begin{frame}{Ugotovi lastnosti funkcije, kot preslikave 
		$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$}
\formulas{$\displaystyle  f(x)=1+x^3$}
	\begin{itemize}	
		\item Funkcija je definirana za vse $x\in\mathbb{R}$,
		$\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$.
		\item Zaloga vrednosti je $\mathcal{R}=\mathbb{R}$.
		\item Velja $1+x^3=y\rightarrow x^3=y-1\rightarrow
			x=\sign(y-1)\sqrt[3]{|y-1|}$. 	
		\item Torej ima ena"cba $f(x)=y$ natanko eno realno 
			re"sitev za vsak $y\in\mathbb{R}$.
		\item Odtod sledi, da je funkcija je bijektivna preslikava 
			$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=1+x^3$}
\begin{center}  
	\includegraphics[scale=0.66]{func-1.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Ugotovi lastnosti funkcije, kot preslikave $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$}
\formulas{$\displaystyle f(x)=4x+|1-x|-|1-2x|$}
        \begin{itemize}
		\item $f(x)=\begin{cases}
                                        5x, x<\frac{1}{2}\\
                                        x+2, \frac{1}{2}\le x<1\\\
                                        3x,  1\le x       
                                \end{cases}$
		 \item Funkcija je na vsem 
			$\mathcal{D}=\mathbb{R}$ monotono nara"s"cajo"ca 
		        in $\mathcal{R}=\mathbb{R}$.  
		\item Funkcija je bijektivna preslikava. 
        \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=4x+|1-x|-|1-2x|$}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.75]{func-2_2.pdf}
        \end{center}
\end{frame}


\subsubsection{Slike mno\v{z}ic, kompozitum funkcij in inverzna funkcija}
  
\begin{frame}{Dolo"ci sliko mno"zice $\mathcal{A}$, $f(\mathcal{A})$, "ce je:}
\formulas{$f(x)=|x^2-1|+|x+2|+x$, $\mathcal{A}=(-2,2)$}
	\begin{itemize}
		\item Razdelimo realno os na 
		obmo"cja glede na predznake izrazov pod absolutnimi vrednostmi. 
		\item $\displaystyle{f(x)=    
				\begin{cases}
                  			x^2-3, x<-2\\
                  			x^2+2x+1, -2\le x<-1\\
					-x^2+2x+3, -1\le x <1\\
					x^2+2x+1,  1\le x	
				\end{cases}
			}$
		\item Nari"semo graf in ugotovimo, da je $f((-2,2))=[0,9)$. 
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=|x^2-1|+|x+2|+x$}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{func-3.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci sliko mno"zice $\mathcal{A}$, $f(\mathcal{A})$, "ce je:}
\formulas{$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$, $\mathcal{A}=(-4,2)$}.
        \begin{itemize}
                \item Funkcija  je liha in zavzame maksimalno 
		vrednost $a$, kjer ima 
		kvadratna ena"cba $\frac{2x}{1+x^2}=a$ dvojno ni"clo. 
                \item Diskriminanta je enaka $4-4a^2=0$, od tod je $a=1$.     
                \item Maksimalno vrednost zavzame v to"cki $x=1$, 
			ker je liha zavzame minimalno 
			vrednost $-1$ v to"cki $x=-1$.   
		Od tod sledi, da je $f((-4,2))=[-1,1]$.
        \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{func-4.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci sliko mno"zice $\mathcal{A}$, $f(\mathcal{A})$, 
"ce je:} \formulas{$f(x)=x + 2|1 - x| - |x|/2$,  $\mathcal{A}=(-4,2)$}.
\begin{itemize}
	\item Razdelimo realno os na obmo"cja 
		glede na znak izrazov pod absolutnimi vrednostmi.
                \item $\displaystyle{f(x)=    
                                \begin{cases}
                                        2-\frac{1}{2}x, x<0\\
                                        2-\frac{3}{2}x, 0\le x<1\\
                                        -2+\frac{7}{2}x, 1\le x       
                                \end{cases}
                        }$
                \item Nari"semo graf in ugotovimo, da je 
		$f((-4,2))=[\frac{1}{2},4)$.
	
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)=x + 2|1 - x| - |x|/2$}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{func-6.pdf}
\end{center}
\end{frame}
\subsection{Kompozitum funkcij}
\begin{frame}{Kompozitum funkcij}
\begin{itemize}
	\item Dani sta funkciji $f(x)$ z $\mathcal{D}_f$ in $\mathcal{R}_f$, 
		ter $g(x)$ z $\mathcal{D}_g$ in $\mathcal{R}_g$.
	\item Definicijsko obmo"cje $g(f(x))$, $\mathcal{D}_{g\circ f}$
	je podmno"zica $\mathcal{D}_f$, ki se s funkcijo $f(x)$ preslika 
		v $\mathcal{R}_f\cap\mathcal{D}_g$,\\
	\formulas{$f(\mathcal{D}_{g\circ f})=\mathcal{R}_f\cap\mathcal{D}_g$}.
	\item Zaloga vrednosti $\mathcal{R}_{g\circ f}$ je podmno"zica\\ 
	$\mathcal{R}_g$, v katero se s funkcijo $g(x)$ 
		preslika $\mathcal{R}_f\cap\mathcal{D}_g$,\\
	\formulas{$\mathcal{R}_{g\circ f}=g(\mathcal{R}_f\cap\mathcal{D}_g)$}.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci kompozituma $f(g(x))$ in $g(f(x))$ "ce je:}
\formulas{$f(x)=\frac{1}{x}$ in $g(x)=\mathrm{sign}\,(2-x)$}.
	\begin{itemize}
		\item $f(g(x))=
			\begin{cases}
				\frac{1}{x},x\in(-\infty,0)\cup(0,2)\\
				-\frac{1}{x},x\in(2,\infty)
			\end{cases}$
		\item $g(f(x))=
			\begin{cases}
				\frac{1}{x},x\in(-\infty,0)\cup(0,\frac{1}{2})\\
				         0,x\in\{\frac{1}{2}\}\\
				-\frac{1}{x},x\in(\frac{1}{2},\infty)
			\end{cases}$
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci kompozituma $f(g(x))$ in $g(f(x))$ "ce je:}
\formulas{$f(x)=\sqrt{x}$ in $g(x)=x^2$}.
\begin{itemize}
	\item $f(g(x))=\sqrt{x^2}=|x|$, 
	\item $\mathcal{D}_{f\circ g}=\mathbb{R}$,
	$\mathcal{R}_{f\circ g}=[0,\infty)$.
	\item $g(f(x))=\sqrt{x}^2=x$, 
	\item $\mathcal{D}_{g\circ f}=[0,\infty)$,
	$\mathcal{R}_{g\circ f}=[0,\infty)$. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci kompozituma $f(g(x))$ in $g(f(x))$ "ce je:}
\formulas{$f(x)=1+\frac{1}{x}$ in $g(x)=\frac{1+x}{1-x}$}.
        \begin{itemize}
                \item $f(g(x))=1+\frac{1}{\frac{1+x}{1-x}}=\frac{2}{1+x}$.\\
		\item  
		$\mathcal{D}_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.
		\item  
		$\mathcal{R}_{f_\circ g}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
                \item $g(f(x))=\frac{1+1+\frac{1}{x}}{1-1-\frac{1}{x}}=
		-2x-1$.
		\item  
		$\mathcal{D}_{g\circ f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
		\item 
                $\mathcal{R}_{g_\circ f}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci kompozituma $f(g(x))$ in $g(f(x))$ "ce je:}
\formulas{$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ in $g(x)=\frac{1-x}{x}$}.
        \begin{itemize}
                \item $f(g(x))=\frac{x^2}{1-2x+2x^2}$.
                \item $\mathcal{D}_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
		\item Dvojna re"sitev ena"cbe 
		$\frac{x^2}{1-2x+2x^2}=a\rightarrow a\in \{0,1\}$.
		\item $\mathcal{R}_{f\circ g}=(0,1]$.
                \item $g(f(x))=x^2$.\\
                \item $\mathcal{D}_{g\circ f}=\mathbb{R}$, 
		$\mathcal{R}_{g\circ f}=[0,\infty]$
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grafa funkcij $f(g(x))$ in $g(f(x))$}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.75]{func-7.pdf}
	\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Dolo"ci kompozituma $f(g(x))$ in $g(f(x))$ "ce je:}
\formulas{$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ in $g(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}$}.
        \begin{itemize}
                \item $f(g(x))=\frac{1}{1+\frac{1-x}{x}}=x$.\\
                \item $\mathcal{D}_{f\circ g}=\mathcal{D}_g=(0,1]$,
		$\mathcal{R}_{f\circ g}=(0,1]$.
                \item $g(f(x))=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}
			{\frac{1}{1+x^2}}}=
			\sqrt{x^2}=|x|$.\\
                \item $\mathcal{D}_{g\circ f}=\mathbb{R}$, 
		$\mathcal{R}_{g\circ f}=[0,\infty)$
        \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Dolo"ci kompozituma $f(g(x))$ in $g(f(x))$ "ce je:}
\formulas{$f(x)=-x + 2|1-x|$ in $g(x)=2 x - |x - 1|$}.
        \begin{itemize}
		\item $f(g(x))=
                        \begin{cases}
                               5 - 9 x ,x\in(-\infty,\frac{1}{3}]\\
                               -3 + 3 x ,x\in[\frac{1}{3},1)\\
			       -1 + x,x\in[1,\infty)
                        \end{cases}$
        \end{itemize}
       \begin{itemize}
                \item $g(f(x))=
                        \begin{cases}
                               3 - 3 x ,x\in(-\infty,\frac{1}{3}]\\
                               5 + 9 x ,x\in[\frac{1}{3},1)\\
                               7 + 3x, x\in[1,3)\\
			       -1 + x, x\in [3,\infty)
                        \end{cases}$
        \end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Grafa funkcij $f(g(x))$ in $g(f(x))$}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.75]{func-9.pdf}
        \end{center}
\end{frame}
\subsection{Inverzna funkcija}
\begin{frame}{Inverzna funkcija}
	\begin{itemize}
		\item Dana je obratno enoli"cna funkcija $f(x)$ 
		z definicijskim obmo"cjem $\mathcal{D}_f$ 
		in zalogo vrednosti $\mathcal{R}_f$.
		\item Njej inverzna funkcija $f^{-1}(x)$ je definirana 
		s predpisom $x=f(y)$, $y=f^{-1}(x)$.
		\item Definicijsko obmo"cje $\mathcal{D}_{f^{-1}}=\mathcal{R}_f$.
		\item Zaloga vrednosti $\mathcal{R}_{f^{-1}}=\mathcal{D}_f$.
		\item Graf inverzne funkcije je simetri"cen grafu prvotne funkcije,
		os simetrije je $y=x$. 
	\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Poi"s"ci inverzno funkcijo k funkciji $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)= 4 x + |1 - x| - |1 - 2 x|\quad 
		\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$}.
	\begin{itemize}
		\item Funkcija je odsekoma linearna sestavljena iz treh delov. 
		\item $f_1(x)=5x$, $\mathcal{D}_1=(-\infty,\frac{1}{2})$, 
		$\mathcal{R}_1=(-\infty,\frac{5}{2})$
		\item $f_2(x)=x+2$, $\mathcal{D}_2=[\frac{1}{2},1)$, 
		$\mathcal{R}_2=[\frac{5}{2},3)$
		\item $f_3(x)= 3x$, $\mathcal{D}_3=[1,\infty)$, 
		$\mathcal{R}_3=[3,\infty)$	
		\item Inverzna funkcija
		\item $f^{-1}(x)=
                        \begin{cases}
                               \frac{1}{5}x ,x\in(-\infty,\frac{5}{2}]\\
                               x-2 ,x\in[\frac{5}{2},3)\\
                               \frac{1}{3}x, x\in [3,\infty)
                        \end{cases}$
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grafa $f(x)$ in $f^{-1}(x)$}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.75]{func-12.pdf}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Poi"s"ci inverzno funkcijo k funkciji $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)= \frac{1+x}{1-x}\quad \mathcal{D}_f=
	\mathbb{R}\setminus\{1\}$}.
	\begin{itemize}
		\item Predpis $f^{-1}(x)$ je dolo"cen z ena"cbo 
		$x=\frac{1+y}{1-y}$.
		\item Izrazimo $y$ iz gornje ena"cbe in dobimo:
		\item $x(1-y)=y+1\rightarrow y(-x-1)=-x+1,\rightarrow 
		y=\frac{-x+1}{-x-1}$
		\item $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{1+x}$, 
		$\mathcal{D}_{f^{-1}}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grafa $f(x)$ in $f^{-1}(x)$}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.75]{func-13.pdf}
        \end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Poi"s"ci inverzno funkcijo k funkciji $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)= \frac{2x}{1+x^2}\quad \mathcal{D}_f=[-1,1]$}.
        \begin{itemize}
                \item Predpis $f^{-1}(x)$ je dolo"cen z ena"cbo 
		$x=\frac{2y}{1+y^2}$.
                \item Izrazimo $y$ iz gornje ena"cbe. 
		Od dveh re"sitev vzamemo 
		tisto, ki je omejena v okolici 0. 
                \item $x(1+y^2)=2y\rightarrow xy^2-2y+x=0,\rightarrow 
		y_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-4x^2}}{2x}$.
                \item $f^{-1}(x)=\begin{cases}
			\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x},x\ne0\\0, x=0
			\end{cases}
			$
		\item $\mathcal{D}_{f^{-1}}=[-1,1]$
        \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grafa $f(x)$ in $f^{-1}(x)$}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.75]{func-14.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci inverzno funkcijo k funkciji $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+|x|}\quad \mathcal{D}_f=\mathbb{R}$}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=\begin{cases}
                        \frac{x}{1-x},x<0\\
			\frac{x}{1+x},x\ge 0
                      \end{cases}$
	\item $f^{-1}(x)=\begin{cases}
                        \frac{x}{1+x},x<0\\
                        \frac{x}{1-x},x\ge 0
                      \end{cases}$
	\item $f^{-1}(x)=\frac{x}{1-|x|}$, $\mathcal{D}_{f^{-1}}=(-1,1)$, 
		$\mathcal{R}_{f^{-1}}=\mathbb{R}$

\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Grafa $f(x)$ in $f^{-1}(x)$}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=0.75]{func-15.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci inverzno funkcijo k funkciji $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\sin(x),\quad 
\mathcal{D}_f=[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$}.
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.65]{func-16.pdf}
\end{center}
$f^{-1}(x)=\pi-\arcsin(x)$, $\mathcal{D}_{f^{-1}}=[-1,1]$ in 
$\mathcal{R}_{f^{-1}}=[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$.
\end{frame}

\end{document}
\subsection{Limita funkcije}
\begin{frame}{Dolo"ci limito funkcije $\lim_{x\to x_0}f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1},\quad x_0=1}$}.
        \begin{itemize}
        \item $\lim_{x\to 1}\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}\rightarrow$
        \item $\lim_{x\to 1}\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}$. 
        \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Dolo"ci limito funkcije $\lim_{x\to x_0}f(x)$}
$\displaystyle{f(x)=\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x},\quad x_0=0}$
	\begin{itemize}
	\item $\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\rightarrow$
	\item $\lim_{x\to 0}\frac{1-(1-x^2)}{x(1+\sqrt{1-x^2})}\rightarrow$	
	\item $\lim_{x\to 0}\frac{x}{(1+\sqrt{1-x^2})}=0$ 
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci limito funkcije $\lim_{x\to \infty}f(x)$}
$\displaystyle{f(x)=\frac{x^3+x}{x^4-3x+1}}$
	\begin{itemize}
	\item "Stevec in imenovalec delimo z vodilno potenco $x^4$.
	\item $\lim_{x\to \infty}
	\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x^4}}$
	\item $\lim_{x\to \infty f(x)=0}$
	\end{itemize}
\end{frame}



\end{document}
\section{Odvod funkcije}
\subsection{Tabela elementarnih odvodov}

\begin{frame}{Pravila za odvajanje}
\begin{enumerate}[I]
	\item $\left(a f(x)+b g(x)\right)'=a f'(x)+b g'(x)$, linearnost.\label{lin}
	\item $\left({f(x)}{g(x)}\right)'={f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$, produkt.\label{prod}
	\item $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$, kvocient.\label{kvoc}
	\item $\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))g'(x)$, posredna funkcija.\label{posr}
	\item $\left(f^{-1}(x)\right)'=\frac{1}{f'(y)}$, kjer je $x=f(y)$, inverzna funkcija.\label{inv}
	\item $\left(f(x)^{g(x)}\right)'=f(x)^{g(x)}\left(\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\right)$.\label{log}
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Odvodi elementarnih funkcij}
\begin{enumerate}
	\item $\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}$\label{potenca-n},$(n\in\mathbb{Z},\quad x\ne 0)$.
	\item $\left(x^s\right)'=s\,x^{s-1}$\label{potenca-s},$(s\in\mathbb{R},\quad x > 0)$.
	\item $\left(e^x\right)'=e^x$\label{exp}
	\item $\left(\log |x|\right)'=\frac{1}{x}$\label{loge}
	\item $\left(\sin x\right)'=\cos x$\label{sin}
	\item $\left(\cos x\right)'=-\sin x$\label{cos}
	\item $\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}$\label{atan}
	\item $\left(\arcsin x\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\label{asin}
\end{enumerate}
\end{frame}

\subsection{Odvajanje funkcij}
\subsubsection{Algebrske funkcije}
\begin{frame}{Odvajaj funkcijo}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
	\item Uporabimo (\ref{kvoc}) $\rightarrow$  (\ref{lin}) $\rightarrow$(\ref{potenca-n}).
	\item $\frac{x'(1+x^2)-x{(1+x^2)}'}{{(1+x^2)}^2}$
	\item $\frac{x'(1+x^2)-x(1'+{x^2}')}{{(1+x^2)}^2}$
	\item $\frac{(1+x^2)-x(2x)}{{(1+x^2)}^2}=\frac{1-x^2}{{(1+x^2)}^2}$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Odvajaj funkcijo}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=x\sqrt{1+x^2}$
	\item Uporabimo (\ref{prod})$\rightarrow$(\ref{potenca-s})$\rightarrow$(\ref{posr})
		$\rightarrow$(\ref{lin})$\rightarrow$(\ref{potenca-n}).
	\item $\sqrt{1+x^2}+\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}}{(1+x^2)}'$
	\item $\sqrt{1+x^2}+\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}}2x$
	\item $\sqrt{1+x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Odvajaj funkcijo}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=x\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$
\end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Eksponentna funkcija in logaritem}
\begin{frame}{Odvajaj funkcijo}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2})$
\end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Trigonometri"cne in ciklometri"cne funkcije}
\begin{frame}{Odvajaj funkcijo}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=\frac{\cos x}{2\sin^2x}$
\end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{"Se nekaj transcendentnih funkcij}
\begin{frame}{Odvajaj funkcijo}
	\begin{itemize}
		\item $f(x)={{x^x}^x}^2$
	\end{itemize}	
\end{frame}
\end{document}



