\documentclass{beamer}
\usepackage{multimedia}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{color}
\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  \setbeamercovered{transparent}
}

\useoutertheme{shadow}
\usecolortheme{crane}

\usepackage[slovene]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{times}
%usepackage[T1]{fontenc}
\newtheorem{primer}[theorem]{Primer} 
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}


\definecolor{darkblue}{rgb}{0.0,0.0,0.6}
\definecolor{mybrawn}{rgb}{0.3,0.5,0.0}
\definecolor{mygrey}{rgb}{0.4,0.3,0.3}
%\usefonttheme{structuresmallcapsserif}
\newcommand\formulas[1]{\textcolor{darkblue}{#1}}
\newcommand\ttxt[1]{\textcolor{mybrawn}{#1}}
\setbeamercolor{normal text}{fg=mygrey} 


\title[Matematika 1]
{Matematika 1}

\subtitle{6. vaja}

\author[Borut] % 
{B.~Jur\v{c}i\v{c}~Zlobec\inst{1}}

\institute[Univerza v Ljubljani Slovenia] % 
{
  \inst{1}%
    Univerza v Ljubljani,\\Fakulteta za Elektrotehniko\\ 
    1000 Ljubljana, Tr\v{z}a\v{s}ka 25, Slovenija
}


\date[BF 2010] % 
{Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2010}

\subject{Matematika}


%\AtBeginSubsection[]
%{
%  \begin{frame}<beamer>{Vsebina}
%    \tableofcontents[currentsection]
%  \end{frame}
%}
\begin{document}

\begin{frame}
 \titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{}
%  \tableofcontents
%\end{frame}
\section{Odvod funkcije}
\subsubsection{Odvedljivost}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija $f(x)$ ni odvedljiva.}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\sign x$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija to"cki $x=0$ ni zvezna.
	\item $\lim_{x\nearrow0}f(x)=-1$, $\lim_{x\searrow0}f(x)=1$ in 
	$f(0)=0$.
	\item Leva limita se ne ujema z desno limito in funkcijsko vrednostjo
	v to"cki 0.
	\item Ker funkcija ni zvezna v to"cki 0 sledi, da tudi ni
	odvedljiva v tej to"cki. Povsod drugod je odvod enak 0. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.80]{func-34.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.} 
\formulas{$\displaystyle f(x)=|x|$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija je povsod zvezna. 
	\item Odvod $f'(x)=\begin{cases}
			-1, x< 0\\
			 1, x> 0
			\end{cases}$
	\item Leva in desna limita odvoda v to"cki 0 sta razli"cni $-1$ 
	in $1$.  
	\item Od tod sledi, da funkcija v to"cki 0 ni odvedljiva. 
	\item Lahko pi"semo $f'(x)=\sign x$ za $x\ne0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.80]{func-33.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.} 
\formulas{$\displaystyle f(x)=x|x|$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija je povsod zvezna.
	\item Funkcijo lahko zapi"semo tudi takole: $f(x)=x^2\sign x$.
	\item Odvod $f'(x)=2x\sign x=2|x|$ za $x\ne0$.
	\item Leva in desna limita odvoda v to"cki 0 sta enaki 0.
	\item Limita odvoda obstaja, ker je funkcija v tej to"cki zvezna,
		je tudi odvedljiva.
	\item Odvod je $f'(x)=2|x|$ za vse $x\in\mathbb{R}$.  
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.80]{func-32.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.} 
\formulas{$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2(1+x)}$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija je definirana in zvezna na $[-1,\infty)$.
	\item Funkcijo lahko zapi"semo takole  $f(x)=|x|\sqrt{1+x}$.
	\item Odvod $f'(x)=\sign x\sqrt{1+x}+\frac{|x|}{2\sqrt{1+x}}
	\rightarrow$
	\item $\lim_{x\nearrow0}f'(x)=-1$ in 
	$\lim_{x\searrow0}f'(x)=1$. Limita odvoda v to"cki $x=0$ ne obstaja.
	\item Funkcija v $x=0$ ni odvedljiva.
	\item Ker je $\lim_{x\searrow-1}f'(x)=\infty$ sledi, da funkcija 
	ni odvedljiva tudi v to"cki $x=-1$. 
\end{itemize}	
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.80]{func-31.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.} 
\formulas{$\displaystyle f(x)=\sqrt{\left|1-|x|\right|}$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija je definirana in zvezna povsod.
	\item Odvod $f'(x)=\frac{\sign x}{2\sqrt{1-|x|}}$.
	\item Limita odvoda v to"ckah $x=\pm1$ gre v neskon"cno, zato 
		v teh dveh to"ckah ni odvedljiva. 
	\item V to"cki ni"c pa je leva limita odvoda enaka $-\frac{1}{2}$,
	desna limita pa $\frac{1}{2}$, ker sta limiti razli"cni 
	funkcija ni odvedljiva v to"cki $x=0$. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.80]{func-30.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.} 
\formulas{$\displaystyle f(x)=\arcsin\frac{2x}{1+x^2}$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija je povsod definirana in zvezna.
	\item Odvod $f'(x)=\frac{\sqrt{(1-x^2)^2}}{(1-x^2)(1+x^2)}
		\rightarrow$
	\item $f'(x)=\frac{\sign(1-x^2)}{1+x^2}$.
	\item Leva in desna limita odvoda v to"ckah $x=\pm1$ se razlikujeta,
	zato funkcija v teh dveh to"ckah ni odvedljiva. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.80]{func-29.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cke, kjer funkcija f(x) ni odvedljiva.}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\arctg\frac{x-1}{x+1}$}.
\begin{itemize}
        \item Funkcija je definirana in zvezna povsod razen v to"cki 
		$x=1$. 
	\item Leva in desna limita v to"cki $x=1$ $\rightarrow$
	\item $\lim_{x\nearrow1}f(x)=-\frac{\pi}{2}$ in 
	$\lim_{x\searrow1}f(x)=\frac{\pi}{2}$
        \item Odvod $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
        \item Leva in desna limita odvoda v to"cki  $x=1$ se ne 
	razlikujeta,
        vendar funkcija ni odvedljiva, ker ni zvezna v tej to"cki. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
\begin{center}
        \includegraphics[scale=0.80]{func-50.pdf}
\end{center}
\end{frame}



\subsection{Diferencial in ekstremalni problemi}
\begin{frame}{S pomo"cjo diferenciala dolo"ci pribli"zno vrednost $\sqrt{80}$.}
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{80}=9\sqrt{\frac{80}{81}}=9\sqrt{1-\frac{1}{81}}$.
		\item Upo"stevamo, da je $f(x_0+h)\approx 
		f(x_0)+f'(x_0)h$, "ce je $|h|<<1$. 
		\item V na"sem primeru je $f(x)=\sqrt{x}$, $x_0=1$ in 
		$h=-\frac{1}{81}$. 
		\item $\sqrt{1-\frac{1}{81}}\approx\sqrt{1}-
			\frac{1}{2}\frac{1}{81}=0.993827$.
		\item $\sqrt{80}\approx9\times0.993827=8.94444$.
		\item Pet decimalnih mest prave vrednosti je
		$8.94427$.
	\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{Kolika je relativna sprememba prostornine krogle, 
	"ce se polmer podalj"sa za $1.2\,\%$.}
\begin{itemize}
	\item Prostornina krogle je $V=\frac{4\pi r^3}{3}$.
	\item Spremenljivi koli"cini sta $V$ in $r$. 
	\item Logaritmiramo gornjo ena"cbo in poi"s"cemo diferencial
		obeh strani ena"cbe. 
	\item $\ln V=\ln\frac{4}{3}+3\ln r\rightarrow 
	\frac{dV}{V}=3 \frac{dr}{r}$.
	\item "Ce je relativna sprememba polmera 
		$\frac{dr}{r}=0.012$ je $\frac{dV}{V}=0.036$ 
		oziroma $3.6\,\%$. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci s pomo"cjo diferencialov pribli"zno spremembo 
	povr"sine kvadrata, s stranicama:}
\formulas{$a=4$ in $b=3$, 
	"ce se stranica $a$ pove"ca za $0.02$ in stranica $b$ pa zmanj"sa za  
	$0.025$}.
	\begin{itemize}
		\item Povr"sina kvadrata $S=a\,b$.
		\item Poi"s"cimo diferencial $dS=(da)\,b+a\,(db)$.
		\item Od tod sledi, da je $dS=3\,0.02-4\,0.023$.
		\item Pribli"zna sprememba povr"sine je $dS=-0.032$		
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{V lik, ki ga omejujeta graf funkcije $f(x)$ in abscisna os}
\formulas{v"crtaj pravokotnik s, stranicami vzporednimi koordinatnim osem
	tako, da bo plo"s"cina najve"cja. $f(x)=1-x^2$}.
	\begin{itemize}
		\item Plo"s"cina je enaka $S(x)=x\,(1-x^2)$, kjer je 
		$x\in[0,1]$. 
		\item Re"simo ena"cbo $S'(x)=0$, oziroma $1-3x^2=0$ in 
		dobimo $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$. 
	\end{itemize}
	\begin{center}
                \includegraphics[scale=0.6]{func-48.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Dolo"ci "stevilo $x>0$ tako, da bo vsota $x+\frac{1}{x}$
najmanj"sa.}
\begin{itemize}
	\item $f(x)=x+\frac{1}{x}$.
	\item $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}\rightarrow f'(x)=0\rightarrow x=\pm1$.
	\item Vzamemo pozitivno re"sitev $x=1$ in dolo"cimo naravo stacionarne 
	to"cke s pomo"cjo drugega odvoda. 
	\item $f''(x)=\frac{2}{x^3}$, v $x=1$ je $f''(1)=2$. 
	\item Od tod sledi, da v to"cki $x=1$ funkcija dose"ze minimum.  	
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Kako visoko nad sredino okrogle mize s polmerom $R$ 
	moramo postaviti to"ckasto svetilo, da bo rob najbolje osvetljen.} 
	\begin{itemize}
		\item Osvetljenost je premo sorazmerna z sinusom vpadnega kota 
		in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje od svetila.
		\item $S(h)=\frac{\sin\alpha}{R^2+h^2}\rightarrow\alpha=\arctg\frac{h}{R}$, kjer je $h$ vi"sina 
		svetila. 
		\item $S(h)=\frac{h}{\sqrt{(R^2+h^2)^3}}\rightarrow$
		\item $S'(H)=\frac{R^2-2h^2}{\sqrt{(R^2+h^2)^5}}\rightarrow$
		\item $S'(h)=0\rightarrow h=\frac{R}{\sqrt{2}}$. 
	\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Slika k gornji nalogi}
	\begin{center}
		\includegraphics{func-49.pdf}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Poi"s"ci to"cko grafa funkcije $f(x)$, ki je 
najbli"zja to"cki $T$.} 
\formulas{$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x^2),\quad T=(2,1)$}.
\begin{itemize}
	\item Skozi to"cko $T$ polo"zimo normalo na graf $f(x)$.
	\item Smerni koeficient $k=-\frac{1}{f'(x_0)}$.
	\item Ena"cba normale $y-1=\frac{1}{x_0}(x-2)$.
	\item Poi"s"cimo prese"ci"s"ce normale z grafom $f(x)$.
	      $$\frac{1}{2}(1-x_0^2)-1=\frac{1}{x_0}(x_0-2)$$
	\item Absciso prese"ci"s"ca normale z grafom funkcije 
		$f(x)$ je $x_0=1$. 
	\item Najbli"zja to"cka je $(x_0,f(x_0))=(1,0)$. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Slika k prej"snji nalogi.}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.8]{func-47.pdf}
	\end{center}
\end{frame}

\subsection{Grafi Funkcij}

\begin{frame}{Grafi"cni prikaz kompozicije funkcij}
\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.75]{func-22.pdf}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Nari\v{s}i graf funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)=x^2e^{-x}$}.
\begin{itemize}
	\item Ni"cla v $x_0=0$ drugega reda. Limita $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=0$.  
	\item Odvod $f'(x)=-4e^{-x}x(x-2)$ ima dve ni"cli 
	v $x_{0}=0$ in $x_1=2$. 
	\item Drugi odvod $f''(x)=4e^{-x}(x^2-4x+2)$ ima dve ni"cli 
	v $x_{2,3}=2 \pm\sqrt{2}$. 
	\item To"cki $x_{0,1}$ sta stacionarni, $x_0$ minimum $x_1$ maksimum medtem, 
	ko sta $x_{2,3}$ prevojni to"cki. 
	\item Na $(-\infty,x_0)$ in $(x_1,\infty)$ funkcija pada, $f'(x)<0$, 
	na $(x_0,x_1)$ funkcija nara"s"ca $f'(x)>0$. 
	\item Na $(-\infty,x_2)$ in $(x_3,\infty)$ je funkcija konveksna $f''(x)>0$, na 
	$(x_2,x_3)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.75]{func-24.pdf}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Nari\v{s}i graf funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$}.
\begin{itemize}
	\item To"cka $x_0=0$ je ni"cla prvega reda. 
	Limita $\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{1+x^2}=0$.  
	\item Odvod $f'(x)=-2\frac{(x-1)(x+1)}{(1+x^2)^2}$ ima dve ni"cli 
	v $x_{1}=-1$ in $x_2=1$. 
	\item Drugi odvod $f''(x)=4\frac{x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$ ima tri ni"cle 
	v $x_{3,4}=\pm\sqrt{3}$ in $x_0=0$. 
	\item To"cki $x_{1,2}$ sta stacionarni, $x_1$ minimum $x_2$ maksimum medtem, 
	ko so $x_{3,4}$ in $x_0$ prevojne to"cke. 
	\item Na $(-\infty,x_1)$ in $(x_2,\infty)$ funkcija pada, $f'(x)<0$, 
	na $(x_1,x_2)$ funkcija nara"s"ca $f'(x)>0$. 
	\item Na $(-\infty,x_3)$ in $(x_0,x_3)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$, na 
	$(x_3,x_0)$ in $(x_4,\infty)$ je funkcija konveksna $f''(x)>0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.75]{func-25.pdf}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Nari\v{s}i graf funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$}.
\begin{itemize}
	\item Ni"cla v $x_0=0$ drugega reda. 
	Limita $\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{1+x^2}=1$.  
	\item Odvod $f'(x)=-2\frac{2x}{(1+x^2)^2}$ ima eno ni"clo 
	v $x_0=0$. 
	\item Drugi odvod $f''(x)=-2\frac{3x^2-1}{(1+x^2)^3}$ dve ni"cli 
	v $x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. 
	\item To"cka $x_0$ je stacionarna v njej funkcija zavzame minimum medtem, 
	ko sta $x_{1,2}$ prevojni to"cki. 
	\item Na $(-\infty,x_0)$ funkcija pada, $f'(x)<0$, 
	na $(x_0,\infty)$ funkcija nara"s"ca $f'(x)>0$. 
	\item Na $(-\infty,x_1)$ in $(x_2,\infty)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$, na 
	$(x_1,x_2)$ je funkcija konveksna $f''(x)>0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Graf funkcije $f(x)$}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.75]{func-26.pdf}
	\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Nari\v{s}i graf funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\frac{x^3-5x}{x^2+1}}$}.
\begin{itemize}
	\item Ni"cla v $x_0=0$ prvega reda. 
	Po"sevna asimptota $y=x$. 
	\item Odvod $f'(x)=\frac{x^4-8x^2-5}{(1+x^2)^2}$ je enak ni"c 
	v $x_{1,2}=\pm\sqrt{-4+\sqrt{21}}$. 
	\item $f''(x)=-12\frac{x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$ ima tri ni"cle 
	v $x_{3,4}=\pm\sqrt{3}$ in $x_0=0$. 
	\item To"cki $x_{1,2}$ sta stacionarni, 
		$x_1$ maksimum $x_2$ minimum medtem, ko so $x_{3,4}$ in $x_0$  
	prevojne to"cke. 
	\item Na $(-\infty,x_1)$ in $(x_2,\infty)$ funkcija nara"s"ca, $f'(x)>0$, 
	na $(x_1,x_2)$ funkcija pada $f'(x)<0$. 
	\item Na $(-\infty,x_3)$ in $(x_0,x_4)$ je funkcija konveksna $f''(x)>0$, na 
	$(x_3,x_0)$ in $(x_4,\infty)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.75]{func23.pdf}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari\v{s}i graf kodra Marie Gaetane Agnesi 
$\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x^2+1}}$}.
\begin{itemize}
	\item Ni"cel in polov nima. $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+x^2}=0$ 
	\item Odvod $f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$ je enak ni"c 
	v $x_{0}=0$. 
	\item $f''(x)=2\frac{-1+3x^2}{(1+x^2)^3}$ ima dve ni"cli 
	v $x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. 
	\item V to"cki $x_{0}$ dose"ze maksimum medtem, 
	ko sta $x_{1,2}$  
	prevojni to"cki. 
	\item Na $(-\infty,x_0)$ funkcija nara"s"ca, $f'(x)>0$, 
	na $(x_0,\infty)$ funkcija pada $f'(x)<0$. 
	\item Na $(-\infty,x_1)$ in $(x_2,\infty)$ 
	je funkcija konveksna $f''(x)>0$, na 
	$(x_1,x_2)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{func-38.pdf}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari\v{s}i graf Gaussove funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=e^{-2x^2}}$}.
\begin{itemize}
	\item Odvod $f'(x)=4xe^{-2x^2}$ je enak ni"c 
	v $x_{0}=0$. 
	\item $f''(x)=4(2x^2-1)e^{-2x^2}$ ima dve ni"cli 
	v $x_{1,2}=\pm\frac{1}{2}$. 
	\item V to"cki $x_{0}$ dose"ze maksimum medtem, 
	ko sta $x_{1,2}$  
	prevojni to"cki. 
	\item Na $(-\infty,x_0)$ funkcija nara"s"ca, $f'(x)>0$, 
	na $(x_0,\infty)$ funkcija pada $f'(x)<0$. 
	\item Na $(-\infty,x_1)$ in $(x_2,\infty)$ 
	je funkcija konveksna $f''(x)>0$, na 
	$(x_1,x_2)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{func-44.pdf}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari\v{s}i graf Gaussove funkcije $f(x)$}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}}$}.
\begin{itemize}
	\item Odvod $f'(x)=xe^{-x^2/2}$ je enak ni"c 
	v $x_{0}=0$. 
	\item $f''(x)=(x^2-1)e^{-2x^2}$ ima dve ni"cli 
	v $x_{1,2}=\pm1$. 
	\item V to"cki $x_{0}$ dose"ze maksimum medtem, 
	ko sta $x_{1,2}$  
	prevojni to"cki. 
	\item Na $(-\infty,x_0)$ funkcija nara"s"ca, $f'(x)>0$, 
	na $(x_0,\infty)$ funkcija pada $f'(x)<0$. 
	\item Na $(-\infty,x_1)$ in $(x_2,\infty)$ 
	je funkcija konveksna $f''(x)>0$, na 
	$(x_1,x_2)$ je funkcija konkavna $f''(x)<0$. 
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{func-45.pdf}
	\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari"si graf funkcije $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=x^x}$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija je definirana za $x>0$.
	\item $\displaystyle \lim_{x\searrow0}x^x=1
	\leftarrow\lim_{x\searrow0}x\log x=0$.
	\item Odvod $f'(x)=x^x(1+\log x)\leftarrow (\log f(x))'=(x\log x)'$.
	\item Stacionarna to"cka $1+\log x=0\rightarrow x=\frac{1}{e}$.
	\item Funkcija pada $x\in (0,\frac{1}{e})\leftarrow f'(x)<0$.
	\item Funkcija nara"s"ca $x\in (\frac{1}{e},\infty)\leftarrow f'(x)>0$.
	\item Drugi odvod $f''(x)=x^x\left((1+\log x)^2+\frac{1}{x}\right)>0$,\\
	funkcija je konveksna. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=1]{func-39.pdf}
        \end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Nari"si graf funkcije $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=x+\sin x}$}.
\end{frame}

\begin{frame}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=1]{func-40.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari"si graf funkcije $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=x\sin x}$}.
\end{frame}

\begin{frame}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=1]{func-41.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari"si graf funkcije $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\frac{\sin x}{x}}$}.
\begin{itemize}
	\item Funkcija ni definirana v $x=0$.
	\item Obstaja limita $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.
	\item Graf funkcije poteka med hiperbolama $y=\pm\frac{1}{x}$.
	\item Za $x_k=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ se dotika hiperbole $\frac{1}{x}$.
	\item Za $x_k=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ se dotika hiperbole $-\frac{1}{x}$.
	\item Odvod $f'(x)=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ je enak ni"c 
	"ce je $x\cos x - \sin x=0$ oziroma $\tg x=x$. Ena"cba je 
	transcendentna. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=1]{func-42.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari"si graf funkcije $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}}$}.


\end{frame}


\begin{frame}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=1]{func-46.pdf}
        \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Nari"si graf funkcije $f(x)$.}
\formulas{$\displaystyle{f(x)=e^{-x/4}\sin x}$}.
\end{frame}
\begin{frame}
        \begin{center}
                \includegraphics[scale=1]{func-43.pdf}
        \end{center}
\end{frame}


\end{document}
