IZPIT IZ MATEMATIKE II

1     Resi sistem enacb glede na mozne vrednosti parametra k. Kdaj ima sistem enolicno resitev, kdaj je protisloven, kdaj ima neskoncno resitev?

2     Dane tri mnozice predstavljajo smerni vektor dveh vzporednih premic in po eno tocko na vsaki od njih. Zapiši enacbo ravnine, ki vsebuje ti dve premici. Nato pa zapiši enacbo premice, ki gre skozi izhodišce in je pravokotna na izracunano ravnino:

3     Linearna transformacija preslika bazicna vektorja v (3,2)  in (-1,3).   
a. Kam preslika vektor (-2,-2)?
b. Kaj se preslika v vektor (-1,-1)?
Napiši še matriko transformacije in njeno inverzno matriko.

4     Napiši prve 3 clene binomske vrste za priblizni izracun n-tega korena pri n=2:

5     Nariši graf funkcije  a0+ a1 cosx + b1 sinx, ki je delna vsota Fourierove vrste funkcije f(x)=-1, za negativen x, ki je absolutno manj kot 1π/4, in je 1 za poziteven x, ki je absolutno manj kot 1π/4,  in 0 drugje, s periodo 2π:

6    Na planetu Alfa je pospesek teze na povrsini enak g = 4. Iz zacetne tocke (x0,y0)=(8,4) vrzemo kamen s hitrostjo (vx0,vy0)=(4,4). Napisi in resi sistem diferencialnih enacb, ki ustreza Newtonovemu zakonu. Doloci najvecjo visino, ki jo doseze kamen in absciso (x), ko kamen prileti na tla. Narisi se trajektorijo  y(x).

7    Resi diferencialno enacbo RdI/dt+I/C = Vωcosωt pri naslednjih podatkih: R=3, C=4, V=1, ω=4. Narisi grafa  homogenega (pri  I(0)=2), in periodicnega dela resitve.

8     Poisci tocko na grafu krivulje, ki je najblizja izhodiscu. Uporabi metodo vezanega ekstrema. Krivulja je podana z implicitnim izrazom:

9     Narisi nivojske krivulje z=0, z=1, z=2 in z=3, kjer je z funkcija spremenljivk x in y, podana z izrazom:

Z uporabo narisanih izoklin narisi priblizno resitev diferencialne enacbe y'=f(x,y), ki gre skozi tocko (-4,1).

10.    a) Nastej nekaj potrebnih pogojev, da lahko funkcijo razvijemo v Taylorjevo vrsto.
    b) Kaj je splosna resitev diferencialne enacbe 1. reda?
    c) Kaj je lastni vektor matrike A?
    d) Kaj je majoranta za vrsto?
    e) Kaj je partikularna resitev diferencialne enacbe?

Converted by Mathematica  (May 1, 2004)